La distribucion binomial

LA DISTRIBUCION BINOMIAL
En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.Un gran numero de decisiones dependen dela distribución de probabilidad prevaleciente. Una de las más importantes es ladistribución binomial.
Se utiliza para casos como por ejemplo:
El personal de mercadotecnia necesita saber si una persona: (1) prefiere o (2) no prefiere cierto producto.
Aplicaciones:
1. Consideremos la siguiente situación: el gerente del banco de Crédito ha descubierto que π = 10% de los usuarios de tarjeta no pagan el monto completo de la deuda durante un mes dado. Desea determinar la probabilidadque de n=20 cuentas seleccionadas de manera aleatoria, x= 5 de las cuentas no sean pagadas. Esto puede expresarse como P(X = 5 / n = 20, π =0.10), lo cual se lee como “la probabilidad de cinco éxitos (cuentas no pagadas), dado que hay 20 ensayos y la probabilidad de un éxito de cualquier ensayo es del 10%”.
La probabilidad de que 5 cuentas de las 20 muestreadas sigan sin ser canceladas se puedecalcular utilizando la formula binomial:
PX=n!x!n-x! πX (1-π)n-x

PX= nCx(π)x(1-π)n-x
P(X)=20C5 (0.10)5(0.90)20-5 = 0.0319
Si la probabilidad de que no se pague una cuenta cualquiera en su totalidad es π = 0.10, entonces existe un 3.19% de probabilidad de que exactamente 5 de 20 clientes seleccionados de manera aleatoria tengan un saldo a favor.

2. Se tiene que el personal de ventasde Telefónica del Perú, hace una venta al 15% de los clientes que visita. Si un miembro del personal de ventas llama a 15 clientes hoy ¿Cuál es la probabilidad de que venda exactamente dos aparatos? Dado que la probabilidad de éxito π = 0.15, n = 15, x = 2.
Solución aplicando la formula de la distribución binomial:
P(X) = nCx (π)x(1- π)n-x
P(X) = 15C2 (0.15)2(1- π)15-2
P(X)= (105)(0.15)5(1-0.15)20-5 = 0.2856
Lo que significa que existe un 25.56% de oportunidad de que hagan exactamente dos ventas de las 15 llamadas que se realizan.
DISTRIBUCION X2
La mayoría de distribuciones requieren de supuestos básicos, como por ejemplo se asume que la población esta distribuida normalmente o que las varianzas se ajustan a patrones particulares. Cuando tales supuestos no se cumplen o nopueden hacerse se tiene que confiar en la pruebas no parametricas.
Una de las herramientas no parametricas más utilizadas es la prueba chi-cuadrado (X2). Al igual que la distribución t, la distribución X2 es toda una familia de distribuciones. Existe una distribución X2 para cada grado de libertad. La figura 1 muestra que ha medida que se incrementa el numero de grados de libertad, la distribuciónchi-cuadrado se vuelve menos sesgada. Las dos aplicaciones más comunes de X2 son 1) pruebas de bondad de ajuste y 2) pruebas de independencia.
Figura N° 1 Distribución chi-cuadrado

Aplicaciones
1. Se escoge una muestra aleatoria de 13 tiendas abarrotes y se encuentra que las ventas de la semana de cierto producto de consumo masivo tiene una desviación estándar de 6. Se supone que lasventas del producto tiene una distribución normal, al nivel de significancia del 5%, ¿se puede afirmar que la varianza de la población es menor a 40?
Solución: H0: σ02 = 40 Versus H1: σ2 < 40
Selección del Estadístico de prueba: como la población es normal y la muestra es pequeña n = 13 el estadístico será:
X2=(n-1)δ2δ02 ~X(n-1,∝)2
Observo en la tabla X(0.05,12)2 = 5.23
Región critica: X2< 5.23
f(X2)

X2(0.05, 12) = 5.23 X2
Cálculos de los datos muéstrales
δ= 6 → δ2=36
Entonces X2 = 12* 36 / 40 = 10.8
Conclusión: como X2 = 10.8 > 5.23, no se rechaza H0 y se concluye quela varianza de las ventas es mayor o igual a 40.




2. El banco Continental, trata de seguir una política de extender un 60% de sus créditos al sector...