La paradoja de banach-tarski

La paradoja de Banach-Tarski
Introducci´n o Imagina un puzzle que al deshacerlo y hacerlo en otro orden obtuvieras dos veces el mismo puzzle. La paradoja de Banach-Tarski afirma que esto se puede hacer con la bola. Este resultado desaf´ nuestra intuici´n geom´trica ıa o e y por ello es uno de los teoremas m´s controvertidos de la historia de la a matem´tica: para muchos es un claro ejemplo de quela matem´tica pura no a a tiene conexi´n con la realidad y para otros es una raz´n m´s que suficiente o o a para dejar de utilizar el axioma de elecci´n. El estudio de la paradoja ha tenido o adem´s consecuencias importantes en teor´ de la medida, teor´ axiom´tica a ıa ıa a de conjuntos y teor´ de grupos. Sin embargo, el objetivo de este art´ ıa ıculo no es tratar esos temas, sino demostrar elteorema. Para ello, empezaremos con unas definiciones b´sicas. a Definici´n. Uni´n disjunta: La uni´n de conjuntos disjuntos. Utilizaremos o o o el signo . Definici´n. Esfera de radio r: es la superficie esf´rica en tres dimensiones o e centrada en el origen. Es decir {(x, y, z)| x2 + y 2 + z 2 = r2 , (x, y, z) ∈ R3 }. A una esfera unitaria la denotaremos S. Definici´n. Bola: es la esfera unitaria con suinterior. Es decir {(x, y, z)| x2 + o y 2 + z 2 ≤ 1, (x, y, z) ∈ R3 }. La denotaremos B. Definici´n. Movimiento r´ o ıgido directo: Es una transformaci´n lineal que o preserva las distancias y la orientaci´n. Por ´lgebra lineal sabemos que es o a la composici´n de una traslaci´n y una rotaci´n. o o o Definici´n. Rotaci´n de la esfera: Es un movimiento r´ o o ıgido directo que lleva la esfera a s´misma. Es decir, una rotaci´n cuyo eje pasa por el origen. ı o Definici´n. Grupo de transformaciones de la esfera: las rotaciones de la o esfera forman un grupo con la composici´n. A este grupo lo llamaremos SO3 . o Dada una transformaci´n σ y un conjunto A de manera que σ puede aco tuar sobre los elementos de A denotamos por σA = {σa| a ∈ A}. Es decir, el conjunto que se obtiene al aplicar σ a todoslos elementos de A. Si por ejemplo, el conjunto es B la bola unidad, y σ es trasladar una unidad en el eje de las X, tenemos que σB es trasladar toda la bola una unidad en el eje de las X, ie la bola unidad centrada en el (1, 0, 0) Ya estamos en condiciones de enunciar la Paradoja de Banach-Tarski: 30

Teorema 1 (Paradoja de Banach-Tarski). Existen naturales j y n, conjuntos Ai de B disjuntosdos a dos para 1 ≤ i ≤ n y gi movimientos r´ ıgidos directos
n j n

de manera que
i=1

Ai = B,
i=1

gi Ai = B y
i=j+1

gi Ai = B

Es decir, la bola se puede partir en una cantidad finita de subconjuntos disjuntos de manera que al mover los primeros obtenemos la bola de nuevo y al mover los segundos obtenemos la bola de vuelta. La paradoja se puede conseguir con 5 subconjuntos. Sinembargo, esa demostraci´n es demasiado o intrincada, asi que aqu´ lo haremos con una cantidad mayor. ı Demostraci´n. La filosof´ de la demostraci´n es que cuanto m´s sencillo o ıa o a es un objeto m´s f´cil es demostrar que cumple una cierta propiedad. Con esta a a idea en mente, dividiremos sucesivamente los objetos con los que tenemos que trabajar en objetos m´s sencillos. All´ demostraremosresultados an´logos a a ı a los que queremos demostrar y despu´s encontraremos la forma de elevar esos e resultados a los objetos m´s complejos. a La bola es la uni´n de esferas de radios 0 < r ≤ 1 uni´n el origen. Una o o vez hayamos demostrado un resultado an´logo en la esfera, ser´ sencillo exa a tenderlo a toda la bola. La esfera a su vez, la podemos ver como una uni´n o infinita de hilos cada uno conuna estructura muy sencilla: la de un grupo libre de orden dos. Empezaremos por explicar qu´ es un grupo libre de ore den dos y las propiedades que nos interesan. En particular, veremos que este grupo es “parad´jico”. A continuaci´n elevaremos esta propiedad a la esfera, o o comprobando que tambi´n es “parad´jicas”. e o Grupo libre de orden 2 En un Grupo libre de orden 2, al que llamaremos F...