La Secretaria De Comunicaciones Y Transportes De Estado De Nayarit...

INSTITUTO TECNOLOGICO DE TEPIC

CALCULO INTEGRAL

Profesor: Ing. Raymundo Flores Delgadillo
Tema: Resumen Series


UNIDAD 4

SERIES Y SUCESIONES

INDICE

TEMAS:

a) SUCESIONES-------------------------------------------------------------3
b) SUCESIONES MONÓTONAS-----------------------------------------7
c)SERIES---------------------------------------------------------------------9
d) PRUEBA DE LA INTEGRAL-----------------------------------------15
e) PRUEBAS DE COMPARACION-------------------------------------17
f) PRUEBAS DE LAS PROPORCIONES Y DE LA RAIZ----------18
g) SERIES ALTERNANTES----------------------------------------------19
h) SERIES DE POTENCIAS----------------------------------------------22
i) REPRESENTACION DE FUNCIONESMEDIANTE
SERIES DE POTENCIAS-----------------------------------------------23
j) SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN-----------------------------25
k) SERIE DEL BINOMIO--------------------------------------------------26

UNIDAD 4

SUCESIONES Y SERIES

SUCESIONES
En un lenguaje sencillo, una sucesión:

Es un arreglo ordenado de números reales, uno para cada entero positivo. Mas formal-mente, una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos y cuyo rango es un conjunto de números reales. Podemos indicar una sucesión mediante , mediante , o simplemente por

En algunos casos, extenderemos un poco este concepto permitiendo que el dominio conste de todos los enteros mayores o iguales a un entero específico, como en:que denotamos como y , respectivamente.

Ejemplos de sucesiones:









CONVERGENCIA
Considere las cuatro sucesiones recién definidas. Cada una tiene valores que se apilan cerca de l, pero las sucesiones y convergen a 1 y las sucesiones yno.
Para que una sucesión converja a 1, primero debe ocurrir que los valores de la sucesión se acerquen a 1. Pero deben hacer algo más que estar cerca; deben permanecer cerca, para toda n más allá de cierto valor. Esto descarta a la sucesión .
Además, cerca significa arbitrariamente cerca, es decir, dentro de cualquier distancia no nula dada con respecto de 1, lo cual excluyea .

Aunque la sucesión no converge a 1, es correcto decir que converge a 0.999. La sucesión no converge; decimos que diverge.

DEFINICION
La sucesión se dice que converge a L y escribimos

Si para cada número positivo existe un número positivo correspondiente a N tal que

Si no hay un numero finito L al que converja una sucesión, se dice que esta diverge, oque es divergente.

TEOREMA: Propiedades de los limites de sucesiones
Sean y sucesiones convergentes y k una constante. Entonces:

EJEMPLO
Determine

SOLUCION: Para decidir lo que le sucede a un cociente de dos polinomios en n cuando n crece, conviene dividir el numerador y el denominador entre la mayor potencia de n que aparezca en el denominador. Esto justifica nuestroprimer paso mas adelante; los otros se justifican apelando a las afirmaciones del Teorema A, como se indica mediante los números encerrados en un círculo.




SUCESIONES MONÓTONAS
Ahora consideremos una sucesión no decreciente arbitraria con lo que queremos decir que Un ejemplo es la sucesión otra esSi se reflexiona un poco sobre esto, podría llegar a la conclusión de que una sucesión de este tipo solo puede hacer una de dos cosas. O bien se va a infinito o, si no puede hacerlo por estar acotada por arriba, entonces debe tender a una orilla.

TEOREMA DE LA SUCESION MONOTONA
Si U es una cota superior para una sucesión no decreciente entonces la sucesión converge a un límite A...