Las matrices y su utilidad

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1.- Utilidad de las matrices.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc.

La utilización dematrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos,...

2.- ¿Qué son matrices?

Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales.

Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C,... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c,... Un elementogenérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij. Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz: A = (aij)

Cuando nos referimos indistintamente a filas o columnas hablamos de líneas.
El número total de elementos de una matriz Am×n es m·n
En matemáticas, tanto las Listas como las Tablas reciben el nombre genérico de matrices.

3.- ¿Cómo estáncompuestas las matrices?
A. Filas.
B. Columnas
C. Diagonal Principal

4.- Tipos de matrices.
-Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.

-Matriz columna
La matriz columna tiene una sola columna

-Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismonúmero de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

-Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.

-Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

-Matriz triangular inferior
Enuna matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

-Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

-Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

-Matriz identidad o unidad
Una matrizidentidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

-Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A ·  B)t = Bt · At

5.- Adición de matrices.
Para sumar dos matrices M, N, es necesario que susdimensiones sean iguales. El resultado de la suma es otra matriz con las mismas dimensiones y cuyos elementos Xij corresponden a Mij + Nij. Por ejemplo:

Otro Ejemplo,
A + B = C (cij = aij + bij)

-Sustracción de matrices

La sustracción de dos matrices es posible siempre que cumpla las condiciones de la suma, definiendo el proceso formal como:
A - B = C (cij = aij - bij)

Ejemplo deinstrucciones SPSS para la suma y resta de matrices:
Compute C=A+B.
Compute W=F-G.

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Lic. José Gregorio....
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