Las Seis Funciones Trigonometr Cas

Funciones trigonometrícas
por
Stefan Waner y Steven R. Costenoble
Sección: 2. Las Seis Funciones Trigonometrícas
1.
Modelos
con la
función
seno

Ejercicos
para la
sección 2

3. Derivadas de
Funciones
Trigonometrícas

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de Funciones
Trigonometrícas

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2. Las Seis Funciones Trigonometrícas
Las dos funciones trigonometrícas básicas son:seno (que ya hemos estudiado), y coseno. Tomando
proporciones y valores inversos de estas funciones, podemos obtener otras cuatro funciones, llamadas
tangente, secante, cosecante, y cotangente.

Coseno
Volvamos a la bicicleta presentada en la sección anterior, y recordemos que el seno de t, sen t, se definió
como la coordenada y una marca en la rueda. El coseno de un número real t, representada concos t, se
define casi de la misma manera, excepto que esta vez, usamos la coodenada x de la marca en la rueda.
(Vea la figura).
cos t es definida por la coordenada x de la abscisa del punto P en la rueda.

Primero observa que las coordenadas del punto P en el diagrama anterior son ( cos t, sen t), y que la
distancia de P al punto de origen es 1 unidad. De la formula para la distacia en elcapitulo 8 de Cálculo
Aplicado al Mundo Real o capitulo 15 de Matemáticas Finitas y Cálculo Aplicado al Mundo Real, tenemos:
Cuadrado de la distancia de P a (0, 0) = 1
( sen t)2 + ( cos t)2 = 1
La ecución se puede expresar como
sen2t + cos2t = 1,

Esta ecuación es una de las relaciones importantes entre las funciones seno y coseno.

Identidad trigonométrica fundamental
sen2t + cos2t = 1
Ahora vemos lagráfica de la función coseno. La gráfica, como se podría esperar, es idéntica a la gráfica de
la función seno, excepto que está desplazada por un "desplazamiento de fase" (vea la figura).

Esto da el siguiente nuevo par de identidades.

Nuevas relaciones entre seno y coseno
Se puede obtener la curva cosenoide desplazando la cueva senoide hacia la izquierda, una distancia
igual a π//2. Por locontrario, se puede obtener la cueva senoide de la curva cosenoide desplazandola
π//2 dos unidades a la derecha.
cos t = sen(t + π//2)
sen t = cos(t − π//2)
Formulación alternativa
También se puede obtener la cueva cosenoide invirtiendo primero la cuerva senoide de manera vertical
(sustituyendo t por −t ) y desplazándola hacia la derecha una distancia igual a π//2. Con esto obtenemos
dos fórmulasalternativas (que son más fáciles de recordar):
cos t = sen(π//2 − t)
sen t = cos(π//2 − t)
Pregunta
Ya que se puede formular la función coseno en términos de la función seno, ¿para qué se necesita la
función coseno?
Respuesta
Desde el punto de vista tecnico, para nada; no se necesita la función coseno, y nos podemos arreglar sólo
con la función seno. Por otra parte, conviene tener a la mano la funcióncoseno porque comienza en el
punto máximo y no en cero. Estas dos funciones, y sus relaciones, desempeñan papeles importantes e las
matemáticas.

La función coseno en general (Curva general de coseno)

Observa que el punto base está en el punto máximo de la cuerva. Todas las constantes tienen el mismo
significado en la cueva senoide en general:
A es la amplitud (la altura de cada punto máximosobre la línea base).
C es el desplazamiento vertical (la altura de la línea base).
P es el periodo o longitud de onda (la longitud de cada ciclo).
ω es la frecuencia angular, y esta definida por ω = 2π//P
α es el desplazamiento de fase (el desplazamiento horizontal del punto de base; donde la curva
alcanza su máximo)

Ejemplo 1 Flujo de caja en acciones
El flujo anual de efectivo en acciones (medidoen porcentaje de activo totales), ha fluctuado en ciclos de
unos 40 años desde 1955, cuando estaba en un punto máximo. Los máximos aproximados fueron +15% de
los activos totales, mientras que los mínimos aproximados fueron −10% de los activos totales.*
(a) Represente este flujo de efectivo con una función coseno del tiempo t en años, en la que t = 0
represente a 1955.
(b) Convierta el resultado...