Leyes De Conservación (Ec. Dif. Hiperbólicas)

Problemas del libro de Holden y Risebro capitulo 1. Leyes de Conservación
T´picos en Modelamiento Matem´tico o a y Transporte Vehicular
Ingenieria Civil Matemática ıa a Universidad de Concepci´n, Chile o 14 de febrero de 2012

1.

Problemas

Problema 1. Una ley de consevaci´n que describe en forma simplificada el flujo vehicular o a lo largo de una carretera de una pista y en una direcci´nest´ dada por o a ˜ ∂ρ ∂ f (ρ) + = 0, ∂t ∂z ˜ f (ρ) = ρv(ρ) = ρwmax 1 − ρ ρmax (1)

donde ρ es la densidad de veh´culos medida en veh´culos por km, v(ρ) es la funci´n de ı ı o velocidad, vmax es la velocidad m´xima y ρmax es el valor m´ximo de ρ. a a a) Demostrar que la ley de conservaci´n (1) puede ser transformada en o ∂u ∂f (u) + = 0, ∂t ∂x f (u) = u(1 − u) el dato inicial x ≤ −a − a < x < a,x ≥ a, (2)

b) Utilizando el m´todo de caracter´sticas, resolver (1) con e ı  3 para 4 1 x u(x, 0) = u0 (x) = 2 − 4a para 1  para 2 donde a > 0 es un par´metro. a c) Identificar el l´mite de soluciones de (b) para a → 0. ı 1

d) Utilizando la condici´n de Rankine-Hugoniot, encontrar una segunda soluci´n para (2) o o con el dato inicial u(x, 0) = u0 (x) =
3 4 1 4

para x ≤ 0 para x >0,

(3)

¿Cu´l es la soluci´n f´sicamente relevante, considerando la aplicaci´n? a o ı o e) Resolver (1) con el dato inicial u(x, 0) = u0 (x) = Problema 2. a) Determinar las caracter´sticas de las siguientes ecuaciones cuasi-lineales: ı ut + sin(x)ux = u sin(t)ut + cos(x)ux = 0 ut + sin(u)ux = u sin(u)ut + cos(u)ux = 0 b) Utilizando el m´todo de las caracter´sticas, resolver los siguientesproblemas de valores e ı iniciales: i) uux + xuy = 0,
y 2 1 4 3 4

para x ≤ 0 para x > 0,

u(0, s) = 2s, s > 0
1 u(x, 0) = x , x > 0.

ii) e ux + uuy + u = 0,

Problema 3. Encontrar la condici´n de Rankine-Hugoniot para un sistema de leyes de o conservaci´n, es decir, para o ∂u ∂F(u) + = 0, ∂t ∂x u = (u1 , . . . , un )T , F(u) = (F1 (u), . . . , Fn (u))T

Problema 4. Encontrar la condici´nde Rankine-Hugoniot para una ley de conservaci´n en o o dos dimensiones espaciales: ∂u ∂f (u) ∂g(u) + + =0 ∂t ∂x ∂y donde las funciones f y g sean continuamente diferenciable y u = u(x, y, t). Se supone que u es discontinua a lo largo de una superficie regular en (x, y, t). Tratar de generalizar la respuesta a n dimensiones espaciales. 2

Problema 5. Consideremos una linealizaci´n de laecuaci´n de Burgers. Sea o o  −1 para x < 0  u0 (x) = −x para − 1 ≤ x ≤ 0,   1 para x > 1, a) Determinar el tiempo m´ximo t∗ por el cual la soluci´n del problema de valores iniciales a o 1 ut + (u2 )x = 0, u(x, 0) = u0 (x) 2 queda continua. Encontrar la soluci´n para t < t∗ . o b) Encontrar la soluci´n del problema linealizado o ut + u0 (x)vx = 0, v(x, 0) = u0 (x) α ≥ 0.

Determinar la soluci´ntambi´n para el caso v(x, 0) = u0 (αx), o e

c) Desarrollaremos ahora un procedimiento para determinar u resolviendo una sucesi´n de o problemas linealizados. Sea n ∈ N, y sea t ∈ (m/n, (m+1)/n) y m ≥ 0. Sea vn la soluci´n o de (vn )t + vn (x, m/n)(vn )x = 0, adem´s, sea vn (x, 0) = u0 (x). Demostrar que a m = u0 (αm,n x). vn x, n Encontrar una ecuaci´n recursiva (en m) satisfecha por αm,n . o d)Supongamos que existe una funci´n continuamente diferenciable α = α(t) tal que o
n→∞

l´ αm,n = α(t), ım

donde t = m/n < 1

Demostrar que α(t) = 1/(1 − t) y luego vn (x) → u(x) para t < 1. ¿Qu´ sucede para t ≥ 1? e Problema 6. a) Resolver el problema de valores iniciales para la ecuaci´n de Burgers o 1 ut + (u2 )x = 0 u(x, 0) = 2 −1 1 para x < 0, para x ≥ 0,

Encontrar la soluci´n tambi´npara el dato inicial o e 1 −1 3 para x < 0, para x ≥ 0,

b) Si multiplicamos la ecuaci´n de Burgers por u, obtenemos formalmente que u satisface o 1 2 1 (u )t + u3 = 0 2 3 x ¿Las soluciones encontradas en (a) son soluciones d´biles de (5)? En caso contrario, e determinar las soluciones d´biles correspondientes de (5). e c) Demostrar que  1   −α u(x, t) = α    −1 es una soluci´n...