Logica De Conjuntos

PRIMERA UNIDAD: LOGICA Y CONJUNTOS

LOGICA Conectivos lógicos: 1.- Conjunción , se simboliza por ∧ . La proposición compuesta p ∧ q es verdadera sólo cuando ambas proposiciones p y q lo son. 2.- Disyunción , se simboliza por ∨ . La proposición compuesta p ∨ q es verdadera si al menos una de las proposiciones p o q lo es. 3.- Implicancia , se simboliza por ⇒ . La proposición compuesta p ⇒ q esfalsa cuando el antecedente p es verdadero y el consecuente q es falso. 4.- Equivalencia , se simboliza por ⇔ . La proposición compuesta p ⇔ q es verdadera cuando ambas proposiciones p y q tienen el mismo valor de verdad. Leyes fundamentales del algebra proposicional: Taulogias Básicas: 1) Principios Lógicos: a) del Tercero Excluído: b) de No contradicción: c) de Identidad: 2) Inferenciasinmediatas: de Simplificación y Amplificación: a) b) (p∧q)⇒ p ≡T p ⇒ (p ∨ q) ≡ T p∨∼p ≡T ∼ (p ∧ ∼ p) ≡ T p⇒ p ≡T

Modus Ponens y Tollens: c) [ (p ⇒ q ) ∧ p ] ⇒ q ≡ T d) [ (p ⇒ q ) ∧ ∼ q ] ⇒ ∼ p ≡ T a) Hipotético: b) Disyuntivo: [ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ] ⇒ (p ⇒ r) ≡ T [ (p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s) ∧ (p∨ r) ] ⇒ (q ∨ s) ≡ T 1

3) Silogismos:_________________________________________________________________________________________ Universidad Diego Portales - Ing. Comercial - Algebra - Lógica y Conjuntos

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ALGEBRA 2008 GUÍA DE EJERCICIOS N°1

Equivalencias Logicas: 1) De la negación: a) ∼(T) ≡ C ; ∼(C) ≡ T ; ∼ (∼p) ≡ p

b) ∼(p ∨ q ) ≡ ∼p ∧ ∼q c) ∼(p ∧ q ) ≡ ∼p ∨ ∼q , d) ∼(p ⇒ q ) ≡ p ∧ ∼q ; 2) De la Alternación y la Conjunción: a) p ∨ T ≡ T ;b) p ∨ p ≡ p ; p∨C≡p; p∧p ≡p p∧T≡p; (Idempotencia) (Conmutativa) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) p∧(q ∨ r) ≡ (p ∧q) ∨ (p ∧ r) (Asociativa) (Distributiva) p∧C≡C Leyes de Morgan ∼(p ⇔ q ) ≡ (p ∧∼ q) ∨ (q ∧ ∼p)

c) p ∨ q ≡ q ∨ p ; p ∧ q ≡ q ∧ p d) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) ; e) p∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧(p ∨ r) ; f) p∨ (p ∧ q) ≡ p ; 3)

p∧(p ∨ q) ≡ p

(Leyes de Absorción)

Del Condicional y elBicondicional: a) p ⇒ q ≡ ∼p ∨ q ; b) p ⇒ q ≡ ∼q ⇒ ∼p ; c) p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) p ⇔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (∼p ∧ ∼q) p ⇔ q ≡ ∼q ⇔ ∼p (Conversiones) (Contrapositivas) (Bicondicional)

Ley De Morgan Para Cuantificadores: La proposición “Es falso que para cada x de S, p (x)” es equivalente a la proposición “Existe x de S tal que es falso que p(x)”. Simbólicamente: ∼[ ∀ x∈S: p(x)] ⇔ [ ∃ x∈S/ ∼p(x)] De donde sededuce, negando ambas proposiciones y reemplazando ∼p(x) por p(x), que: ∼[ ∃ x∈S/ p(x)] ⇔ [ ∀ x∈S: ∼p(x)]

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Ejercicios: 1.Considere los enunciados representados por las proposiciones p y q : p: 4 es un número primo a) 2. p∧q y q: 4 es divisor de 32 c) f) ∼p ⇔ q (q ∧ ∼p) ∨ ∼q Exprese en español los enunciados representados por: b) q ⇒ ∼p e) ∼p ⇒ ∼q d) ∼p ∨ q

Si se sabe que p es falsa, q es verdadera y que r es falsa, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones : a) (p ∧ ∼q) ⇒ r c) (p ∧ ∼r ) ⇔ q b)(∼p ⇒ ∼r ) ∧ q d) ∼(∼p ⇒ r ) ∧ (∼r ∨ p)

3.

Considere las proposiciones, p: Él es Ingeniero Comercial, q: Él es Informático, r: Él es empresario. Escriba en forma simbólica los siguientes enunciados: a) Él no es Ingeniero Comercial ni Informático, pero si Empresario. b) Él no es Ingeniero Comercial y es Informático. c) Ser Ingeniero Comercial o Empresario es lo mismo que ser Informático. d) Si éles Ingeniero Comercial e Informático, entonces es Empresario. e) Si no es Ingeniero Comercial y es Informático, entonces es Empresario. f) Es Ingeniero Comercial sólo si es Economista y Empresario.

4.

Si se sabe que ∼p ∧ q ≡ C, demuestre, usando álgebra proposicional, que: [ ( p ∨ q ) ⇔ ( p ∧ ∼q ) ] ∨ p ≡ T Si ∼p ∨ q ≡ T, demuestre que [ ( p ∨ q ) ⇔ ( ∼p ∧ q ) ] ∨ q ≡ T Demuestre que...