Logica

Apuntes de L´gica Matem´tica o a 3. Razonamientos y Demostraciones

Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e
C´diz, Abril de 2005 a

Universidad de C´diz a

Departamento de Matem´ticas a

ii

Lecci´n 3 o

Razonamientos y Demostraciones
Contenido
3.1 Razonamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Razonamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Razonamiento V´lido .. . . . . . . . . . . . a 3.1.3 Falacia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Regla de Inferencia . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Reglas de Inferencia m´s Usuales . . . . . . . a Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Corolario . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3.3.3 Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Demostraci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Razonamientos y Cuantificadores . . . . . . . 3.4.1 Definiciones Matem´ticas . . . . . . . . . . . a 3.4.2 Regla de Particularizaci´n . . . . . . . . . . . o 3.4.3 Regla de Generalizaci´n . . . . . . . . . . . . o M´todos de Demostraci´n . . . . . . . . . . . e o 3.5.1Demostraci´n Vac´ . . . . . . . . . . . . . . o ıa 3.5.2 Demostraci´n Trivial . . . . . . . . . . . . . . o 3.5.3 Demostraci´n Directa . . . . . . . . . . . . . o 3.5.4 Demostraci´n por la Contrarrec´ o ıproca . . . . 3.5.5 Demostraci´n por Contradicci´n . . . . . . . o o 3.5.6 B´squeda de Contraejemplos . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 56 56 58 59 5961 64 64 64 64 65 69 69 72 73 74 74 74 75 76 77 78

3.2

3.3

3.4

3.5

Ten´ 40 a˜os cuando por primera vez se fij´ en la geometr´ ıa n o ıa; y ello aconteci´ accidentalmente. Encontr´base en la biblioteca o a de un caballero; abiertos estaban los Elementos de Euclides, y fue la 47 El. libri I. Ley´ la Proposici´n. Por D...(pues o o de cuando en cuando gustaba de proferir un exaltadoJuramento, para mayor ´nfasis) ¡esto es imposible! Ley´ pues e o la Demostraci´n, en la que alud´ a una Proposici´n previa; o ıa o proposici´n que tambi´n ley´. La cual mencionaba otra anteo e o rior, que ley´ tambi´n. et sic deinceps (y as´ sucesivamente) o e ı hasta quedar al fin demostrativamente convencido de aquella verdad. Ello le hizo enamorarse de la geometr´ ıa.
Thomas Hobbes (1885-1679)

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Una demostraci´n de una proposici´n significa un argumento convincente de que la proposici´n es vero o o dadera. Las demostraciones de esta clase suelen encontrarse fuera de los cursos de matem´ticas. Los a cient´ ıficos que hacen predicciones con base en principios cient´ ıficos dan demostraciones, en efecto, de que sus prediccionesse deducen de sus principios. Los programadores de ordenadores hacen aseveraciones de que sus programas operar´n de acuerdo con sus especificaciones y verifican estas aseveraciones con una a combinaci´n de razonamiento y experimentaci´n. Los historiadores cuyo argumento es que cierta serie de o o decisiones conducen inevitablemente a cierta consecuencia, usan el razonamiento l´gico para...