Logica

El sistema Principia Mathematica

A) Símbolos primitivos:

1.Variables proposicionales: p, q, r, s, t, p1, q1, r1, s1, t1, pn, qn,
sn, tn.
2.Conectivas o functores de enunciado: (, (.3.Signos de puntuación: paréntesis diversos, como “(, )”, “[, ]”, "{, }".

B) Símbolos definidos.

(()X ( Y = Df. (((X ( (Y)
(() X ( Y = Df. (X ( Y
(() X ( Y= Df. ([((X ( Y) ( ( (( Y ( X)].

C)Reglas de formación:

FR1. Una variable proposicional sola es una expresión bien formada del cálculo (como abreviatura de 'expresión bien formada del cálculo' utilizaremos “ebf ”).
RF2. Si X es unaebf., entonces (X también lo es.
RF3. Si X e Y son ebfs., entonces X ( Y también lo es.
RF4. Estas son todas las Reglas de Formación del cálculo.

D) Axiomas:
A1: (p ( p) ( p
A2 : q ((p ( q)A3: (p ( q) ( (q ( p)
A4: [p ( (q ( r)] ( [q ( (p ( r)]
A5: (q ( r) ( [(p ( q) ( (p ( r)]

E) Reglas de transformación:

RT1.
Dada una tesis del cálculo, en la que aparecen variables deenunciado, el resultado de sustituir una, algunas o todas esas variables por fórmulas bien formadas del cálculo será también una tesis del cálculo. Y ello con una única restricción, si bienimportante: cada variable ha de ser sustituida siempre que aparece, y siempre por el mismo sustituto.

Dicho de modo más riguroso: si X es una tesis del sistema en la que aparecen distintas variablesp1, p2,,,,, pn, e Y1, Y2, ..., Yn son expresiones bien formadas del cálculo, la expresión resultante de sustituir en X p1 por Y1, p2 por Y2, ..., pn por Yn será asimismo una tesis del sistema.Se le llama a esta regla 'Regla de Sustitución'.

RT2.
Si 'X' es una tesis del sistema, y lo es también la expresión “X ( Y”, entonces “Y” es una tesis del sistema.

Es fácil ver queesta regla —a la que se da el nombre de “Regla de Sepa-
Ración— no es otra cosa que una traducción metalingüística de la ley
lógica que hemos llamado “modus ponendo ponens”: [(p ( q) ( p((...