Los Numeros Reales

LOS NUMEROS REALES
Durante el último siglo la ciencia y la tecnología han alcanzado su máximo desarrollo. La física, la química, la biología, la astronomía, las ingenierías, y muchas otras ramas más deben su considerable progreso a la aplicación del cálculo infinitesimal.
El cálculo basa su estudio en el sistema de los números reales y por esta razón se hace necesario conocer sus principalespropiedades.
Existen diversas maneras de como introducir el sistema de los números reales, pero una de las más aceptadas inicia considerando sistemas numéricos más sencillos.

DEFINICION DE LOS NUMEROS NATURALES
Se define el conjunto de los números naturales como
N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,9,…}
Los números naturales nos sirven para contar y una propiedad importante es que todos los númerosnaturales tiene un sucesor que también es un número natural, y que todos excepto el 1 tiene un antecesor que también es un número natural esto es
Si k € N se define su sucesor como k + 1 y además k + 1 € N
Si k € N ≠ 1, se define su antecesor como k – 1 y además k – 1 € N.

En N se definen dos operaciones: suma y un producto, las cuales son cerradas, conmutativas, asociativas y distributivas,además de existir el neutro de la multiplicación; sin embargo los números naturales carecen de propiedades para describir algunos fenómenos físicos como por ejemplo temperaturas bajo cero, altitudes por debajo del mar o la distancia entre dos puntos iguales, más precisamente carecen de la existencia de elementos neutros y de inversos aditivos.
Un conjunto “más grande” que resuelve esteinconveniente se define como el conjunto de los números enteros.

DEFINICION DEL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS
Se define el conjunto de los números enteros como:
Z= {…,-2, -1, 0, 1, 2,…}

En el conjunto de los números enteros también se definen operaciones de suma y producto, que son de nueva cuenta cerrada, conmutativas, asociativas, y distributivas, y con elemento neutro multiplicativo, pero seagregan ahora la existencia del “cero” y la presencia de “números negativos” conocidas como propiedades de la existencia del elemento neutro aditivo y de la existencia de inversos aditivos.


DEFINICION DE CONJUNTO DE NUMEROS RACIONALES
Se define el conjunto de los números racionales como
Q= {p/q│p, q € Z, q ≠ 0}

ALGUNOS NUMEROS RACIONALES SON:
a) ½, 4/3, 2/2
b) Cualquier numeroracional
c) Cualquier numero entero
d) 1.2, 3.23, 6.025, cualquier expansión decimal finita.
e) 12.54, 3.1, 5.279 cualquier expansión decimal infinita y periódica. (La línea de arriba de los dígitos indica que se repiten infinitamente, es decir, los números contemplados en este ejemplo son 12.54545454545454…., 3.11111111… y 5. 279279279279279279…)
Los números racionales históricamentese conocieron como consientes de números enteros. En Q, además de cumplirse todas las propiedades que en los enteros, se agrega la existencia de inversos multiplicativos para todos los números excepto el cero. Esto da origen a la operación de división como resultado de multiplicar un numero por el inverso de otro no cero.
Como el resultado de dividir a un número entero por el neutro multiplicativo1 es el mismo número, se verifica que todo numero entero es un numero racional, de manera que se da la contención propia N С Z C Q.
Todo número racional puede expresarse como una expansión decimal finita o como una expansión decimal infinita y periódica.
En general, dada la expansión decimal finita 0.a1 a2 a3 … an se supone
X= 0.a1 a2 a3 … anmultiplicando por 10n
10n x= a1 a2 a3 … an despejando.
X= a1 a2 a3…an
10n
Históricamente, los números racionales se utilizaron para construir los números irracionales, aunque está resuelto la parte más complicada del proceso.
A pesar de que entre los números racionales siempre existe otro número racional, existen “huecos” entre dos números irracionales. Se puede definir...