Lugar Geometrico de Raices

GRAFICA DE LUGAR GEOMETRICO DE LAS
RAICES
La idea básica detrás del método del lugar geométrico de las raíces es que
los valores de s que hacen que la función de transferencia alrededor del lazo sea
igual a -1 deben satisfacer la ecuación característica del sistema.
El método debe su nombre al lugar geométrico de las raíces de la ecuación
característica del sistema en lazo cerrado conformela ganancia varía de cero a
infinito. Dicha gráfica muestra claramente como contribuye cada polo o cero en
lazo abierto a las posiciones de los polos en lazo cerrado.
Al diseñar un sistema de control lineal, encontramos que el método del
lugar geométrico de las raíces resulta muy útil, dado que indica la forma en la que
deben modificarse los polos y ceros en lazo abierto para que respuestacumpla las
especificaciones del desempeño del sistema.
Algunos sistemas de control puede tener más de un parámetro que deba
ajustarse. El diagrama del lugar geométrico de las raíces, para un sistema que
tiene parámetros múltiples , se construye variando un parámetro a la vez.
•

Condiciones de Angulo. Considere el sistema de la figura 2.5. La función
de transferencia en lazo cerrado es
C (s)
G ( s)
=
R ( s) 1 + G ( s ) H ( s )

La ecuación característica para este sistema en lazo cerrado se obtiene haciendo
que el denominador del segundo miembro de la ecuación anterior sea igual a cero.
Es decir,

1 + G ( s) H ( s) = 0
o bien

G( s) H ( s) = −1

( ecuac. 5.1)

Aquí se supone que G( s) H ( s) es un cociente de polinomios en s. Dado que
G( s) H ( s) es una cantidadcompleja la ecuación 5.1 se divide en dos ecuaciones
igualando los ángulo y las magnitudes de ambos miembros, para obtener lo
siguiente :

Condición de ángulo:

Condición de magnitud :

G ( s) H ( s ) = 1

Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ángulo como las de
magnitud son las raíces de la ecuación característica, o los polos en lazo cerrado.
El lugar geométrico delas raíces es una gráfica de los puntos del plano complejo
que sólo satisfacen la condición de ángulo. Las raíces de la ecuación
característica (los polos en lazo cerrado) que corresponden a un valor específico
de la ganancia se determinan a partir de la condición de magnitud.

En muchos casos, G( s) H ( s) contiene un parámetro de ganancia K, y la ecuación
característica se escribe como

1+K ( s + z1 )( s + z 2 )... ( s + z m )

(s + p )(s + p )... (s + p )
1

2

=0

n

Entonces los lugares geométricos de la raíces para el sistema son los
lugares geométricos de los polos en lazo cerrado conforme la ganancia K varía de
cero a infinito.
Observe que, para empezar a trazar los lugares geométricos de las raíces
de un sistema mediante el método analizado aquí, debemosconocer la ubicación
de los polos y los ceros de G( s) H ( s) . Recuerde que los ángulos de las cantidades
complejas que se originan a partir de los polos y los ceros en lazo abierto para el
punto de prueba s se miden en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Por
ejemplo, G( s) H ( s) se obtiene mediante

Notas del Curso de Control I

M. C. Jaime Cid Monjaraz

2

G( s) H (s) =

K ( s + z1 )

( s + p )( s + p )(s + p )(s + p )
1

2

3

4

en donde − p 2 , y − p 3 son polos complejos conjugados, el ángulo G( s) H ( s) es

en donde φ1 , θ1θ 2 , θ 3 , θ 4 se miden en sentido contrario al de las manecillas del reloj,
como se observa en la figura 5.2.1 (a) y (b). la magnitud de G( s) H ( s) para este
sistema es
KB1
G( s) H ( s) =
A1 A2 A3 A4
en dondeA1 A2 A3 A4 yB1 son magnitudes de las cantidades complejas
s + p1 , s + p 2 , s + p 3 , s + p 4 , s + z1 , respectivamente.
Observe que debido a que los polos complejos conjugado y los ceros
complejos conjugados en lazo abierto, si existen, siempre se ubican
simétricamente con respecto al eje real, los lugares geométricos de las raíces
siempre son simétricos con respecto a este eje. Por lo...