Método de euler en c++

Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y eléctrica

Unidad Culhuacan

Métodos numéricos

“Método de Euler mejorado”

Prof.: ……..
Semestre: 2ºGrupo: 2MM5

MÉTODO DE EULER  MEJORADO 
Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertaspendientes. 
La fórmula es la siguiente: 
 
Donde
 
Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica: 

En la gráfica, vemos que lapendiente promedio   corresponde a la pendiente de  la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la “recta tangente” a la curva en el punto  , donde   esla aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente  hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto   como la aproximación de Euler mejorada. 
Ejemplo 1
Aplicar el método de Euler mejorado, para aproximar   si: 

Solución
Vemos que este es el mismo ejemplo 1 del método anterior. Asíque definimos   y encontraremos la aproximación después de cinco iteraciones. A diferencia del método de Euler 1, en cada iteración requerimos de dos cálculos en vez de uno solo: el de  primero  yposteriormente el de  .
Para aclarar el método veamos con detalle las primeras dos iteraciones. Primero que nada, aclaramos que tenemos los siguientes datos iniciales: 
 
En nuestra primeraiteración tenemos:
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Nótese que el valor de    coincide con el  (Euler 1), y es el único valor que va a coincidir, pues para calcular   se usará    y no  .
Esto lo veremos claramente en lasiguiente iteración:
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Nótese que ya no coinciden los valores de   (Euler 1) y el de . El proceso debe seguirse hasta la quinta iteración. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: ...