Método de runge-kutta

MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA, para resolver ecuaciones diferenciales.

Es probable que el procedimiento más difundido y a la vez el más exacto para obtener soluciones aproximadas al problema de valorinicial Y’ = f(x, y), y(x0) = y0 sea el método de Runge-Kutta de cuarto orden. Como se indica en el nombre, hay métodos de Runge-Kutta de distintos órdenes, los cuales se deducen a partir del desarrollode y(xn + h) en Serie de Taylor con residuo:
[pic]
En donde [pic]es un número entre [pic] y [pic]. Cuando [pic] y el residuo [pic] es pequeño, se obtiene la fórmula ya conocida de iteración:[pic]

En otras palabras el método de Euler es un procedimiento de Runge-Kutta de primer orden.

El procedimiento de Runge-Kutta de segundo orden consiste en hallar las constantes [pic]y[pic]tales que la fórmula: [pic]
En la cual: [pic] (1)
[pic]
Coincide con un polinomio de Taylor de segundo grado. Se puede demostrar que esto es posible siempre y cuando las constantes cumplancon:
[pic]; [pic]; y [pic] (2)
Este es un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas y tiene una cantidad infinita de soluciones. Observe que cuando [pic], [pic], las condiciones (1)vienen a ser las de la fórmula de Euler mejorada. Como la fórmula coincide con con un polinomio de Taylor de segundo grado, el error local de truncamiento para este método es O(h3) y el error global detruncamiento es O(h2).

Nótese que la suma [pic] en la ecuación (1) es un promedio ponderado de [pic]porque [pic]. Los números [pic] y [pic]son múltiplos de aproximaciones a la pendiente de la curvade solución [pic] en dos puntos distintos en el intervalo de [pic] a [pic].

Fórmula de Runge-Kutta de cuarto orden. El procedimiento de Runge-Kutta de cuarto orden consiste en determinar lasconstantes adecuadas para que la fórmula:

[pic];
En que: [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Coincida con un polinomio de Taylor de cuarto grado. Con lo anterior se obtienen 11 ecuaciones con 13...