Métodos numéricos

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ÍNDICE

Introducción 3
Objetivos 4
Objetivo General 4
Objetivo Específico 4
Fundamento Teórico 5
Métodos Generales 5
Métodos Jacobi 11
Comandos nuevos utilizados 15
Diseño del Proyecto 16
Diagrama de Flujo 16
Código en Matlab 17
Análisis 19
Aplicación en la ingeniería en sistemas 20
Conclusiones 21
Recomendaciones 21
Bibliografía 22

INTRODUCCIÓN

Carl GustavJakob Jacob fue un matemático alemán. Autor muy prolífico, contribuyó en varios campos de la matemática, principalmente en el área de las funciones elípticas, el álgebra, la teoría de números y las ecuaciones diferenciales. También destacó en su labor pedagógica, por la que se le ha considerado el profesor más estimulante de su tiempo.
Jacobi estableció con Niels Henrik Abel la Teoría de lasfunciones Elípticas. Demostró la solución de integrales elípticas mediante la aplicación de las funciones, series exponenciales introducidas por él mismo. Desarrolló los determinantes funcionales, llamados después jacobianos, y las ecuaciones diferenciales.
En esta práctica introduciremos el concepto de clases de algoritmos y estudiaremos la realización de cálculos de matrices de cualquier orden,mediante un programa realizado en Matlab.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

* Conocer, comprender y aplicar métodos numéricos para la resolución de problemas matriciales correspondientes a algoritmos matemáticos basados en Jacobi.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

* Analizar el tiempo de ejecución correspondiente al programa realizado en Matlab.
* Analizar los errores generados en elprograma, y verificar hasta que punto es factible el método numérico de Jacobi.

* Implementar los métodos numéricos de solución de sistemas de ecuaciones, mediante un lenguaje de programación como Matlab.

* En esta práctica revisaremos algunas funciones de Matlab que resuelven sistemas de ecuaciones lineales utilizando un método iterativo.

FUNDAMENTO TEÓRICO
FUNDAMENTO TORICOMétodos Generales
Los estudios matemáticos han desarrollado varios métodos para la resolución de ecuaciones, entre las cuales tenemos los siguientes:
SISTEMA DE ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS

5x+2y+2z=15 ( 1 )
x+3y+z=10 ( 2 )
2x+3y+6z=26 ( 3 )

m. SUMA Y RESTA
Realizamos la suma de ecuaciones de dos en dos para reducir una variable y realizar lomismo con las ecuaciones obtenidas:
- ( 1 ) + 5 ( 2 )
-5x-2y-2z=-15
5x+15y+5z=50
/ 13y+3z=35 ( 4 )

- ( 2 ) + 2 ( 2 )
-2x-3y-6z=-26
2x+6y+2z= 20
/ 3y-4z=-6 ( 5 )
4 ( 4 ) + 3 ( 5 )
52y+12z=140
9y-12z=-18
61y / =122
y=2
Y en ( 5 )
3*2-4z=-6
-4z=-12
z=3
Y y Z en ( 2 )x+3*2+ 3 =10
x=10-6-3
x=1

Valores hallados:
x=1 ; y=2 ; z=3
m. CRAMER
Primero hallamos la determinante formando una matriz con los valores de x, y, z:
∆ = 522131236
∆ =3*6*5+1*3*2+2*2*1-2*3*2-1*6*2-3*1*5
∆ =90+6+4-12-12-15 = 61
Para hallar la x: formamos una matriz remplazando los valores de la columna x por los valoresindependientes, realizamos el mismo procedimiento para y, z:
x= 15221031263661
x=15*3*6+10*3*2+2*1*26-26*3*2-10*2*6-3*1*15/61
x =270+60+52-156-120-4561=1
Para hallar la y:
y= 51521101226661
y =5*10*6+1*26*2+15*1*2-2*10*2-26*1*5-1*15*6/61
y =300+52+30-40-130-9061=2
Para hallar la z:
z= 52151310232661
z =5*3*26+1*3*15+2*10*2-2*3*15-1*2*26-3*10*5/61
z =390+45+40-90-52-150-61=3
m. GAUSS JORDANConstruimos una matriz con los coeficientes de las incógnitas, así en la parte izquierda los valores de x, y, z y el derecha los independientes:
5F2 – F1
5F3 – 2F1

522131236151026
13F3 – 11F2
5220133011261535100
5220133003051535915
De esta matriz hallamos las siguientes ecuaciones:

305z= 915
z= 3
13y+3z=35
13y+3*3=35
y=2

5x+2y+2z=15
5x+2*2+2*3=15
x=1
m. IGUALACION...
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