mate

Pauta Control 1B
Matemática II (MAT022)

1. Hallar una fórmula que permita calcular

du
.
(u 2 + k 2 )n
du
.
(x 2 + 4)2

Use la fórmula, encontrada por usted, para calcular
Solución
SeaI n =

du
(u 2 + k 2 )n
In =

, n ≥ 2,

1
k2

(u 2 + k 2 ) − u 2
1
du = 2
(u 2 + k 2 )n
k

du
1
−
(u 2 + k 2 )n−1 2k 2

u·

2u d u
(u 2 + k 2 )n

(10 ptos.)

Calculandola última integral de la derecha por el método de integración por partes
u1 = u
2u d u
dv = 2
(u + k 2 )n

−→

d u1 = d u

−→

v =−

1
(n − 1)(u 2 + k 2 )n−1

(10 ptos.)

se tiene:du
(u 2 + k 2 )n −1

In

=

1
1
1
u
I n −1 − 2 −
+
k2
2k
(n − 1)(u 2 + k 2 )n−1 n − 1

In

=

u
I n −1
I n −1
+ 2 − 2
2k 2 (n − 1)(u 2 + k 2 )n−1
k
2k (n − 1)

(10 ptos.)u
2n − 3
+
I n −1
2k 2 (n − 1)(u 2 + k 2 )n−1 2k 2 (n − 1)

(10 ptos.)

simplificando
In =

Ahora usamos la fórmula para calcular
du

I=

(x 2 + 4)2

donde n = 2 y k = 2 se tienedu
(x 2 + 4)2

=
=
=

x
2(2) − 3
+
2 · 22 (2 − 1)(x 2 + 4)2−1 2 · 22 (2 − 1)
x

dx
x 2 +4

1 1
x
· arctan
+C
8 2
2
1
x
2x
(arctan + 2
) + C (10 ptos.)
16
2 x +4
8(x 2 + 4)+

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática




3

8 , calcule M matriz triangular superior tal que M t · M = A
26




a b c
a2
ab
ac



b c + d e  entonces igualando a la
Consideremos a M =  0 d e  entonces M t · M =  a b b 2 + d 2
2 +e2 + f 2
0 0 f
ac bc + ed c
matriz A se tiene el sistema

2
ab = 6
ac = 3
 a =9ab = 6 b2 + d 2 = 8
bc + d e = 8
(10 ptos.)

a c = 3 b c + e d = 8 c 2 + e 2 + f 2 = 26

9

2. Para A =  6
3
Solución

6
8
8

se tienen las siguientes soluciones: (a ,b, c , d , e ,f ) ∈ {(3, 2, 1, 2, 3, 4), (3, 2, 1, 2, 3, −4), (3, 2, 1, −2, −3, 4), (3, 2, 1, −2, −3, −4),
(−3, −2, −1, 2, 3, 4), (−3, −2, −1, 2, 3, −4), (−3, −2, −1, −2, −3, 4), (−3, −2, −1, −2, −3, −4)} (10...