Mate

1. Sumatoria (suma) y notación sigma (∑) y de un ejemplo

* Sumatoria (suma)
El sumatorio, la sumatoria, o la operación de suma es un operador matemático que permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos, se expresa con la letra griega sigma (  ), y se define como:
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Esto se lee: «sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i».
La variable i es el índicede suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente debe cumplirse que:

Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede hacer de esta forma:

También hay fórmulas para calcular los sumatorios más rápido. Por ejemplo, para sumar los primeros milnúmeros naturales no tiene mucho sentido sumar número por número, y se puede usar una fórmula como esta:

Se debe notar que aunque el término sumatorio se refiere a un operador matemático útil para expresar cierto tipo de suma, no substituye este término a la palabra suma. Se dice: «la suma de dos y tres es cinco», y no «el sumatorio de dos y tres es cinco». Por la misma razón, decir que serealizará, por ejemplo, el sumatorio (o la sumatoria) de unos votos, es notoriamente un disparate. Los operadores de suma son útiles para expresar sumas de forma analítica; esto es, representar todos y cada uno de los sumandos en forma general mediante el «i-ésimo» sumando. Así, para representar la fórmula para hallar la media aritmética de n números, se tiene la siguiente expresión:

Algunasformulas de la operación suma
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* Notación sigma (∑)
Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita.
Dada una sucesión: 

Ésta se puede representar como la suma de los  primerostérminos con la notación de sumatoria o notación sigma. El nombre de esta notación se denomina de la letra griega  (sigma mayúscula, que corresponde a nuestra S de "suma”). La notación sigma es de la siguiente manera: 

La ecuación anterior se lee la "suma de  desde  hasta." La tetra k es el índice de la suma o variable de la sumatoria y se reemplaza k en la ecuación después de sigma, por losenteros, y se suman las expresiones que resulten, con lo que resulte del lado derecho de la ecuación.

Ejemplo # 1

Calcule la siguiente Serie:

Solución:

2. Definición de antiderivada
La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.
Por ejemplo:
Si f(x) = 3×2,entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).
La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.Teorema:
Si dos funciones  h  y  g  son antiderivadas de una misma función  f  en un conjunto D de números reales, entonces esas dos funciones h  y  g  solo difieren en una constante.
 

Conclusión: Si  g(x) es una antiderivada de  f  en un conjunto D de números reales, entonces cualquier antiderivada de f  es en ese conjunto D se puede escribir como,
gx+c ∀x∈D  C constante real.Propiedades de las antiderivadas

* Primera propiedad: si F(x) es una antiderivada de f(x) y C una constante cualquiera (un numero), la función F(x)+C es otra antiderivada de f(x).

Demostración:

Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero.

Fx+C`=Fx+C`=fx+0=f(x)

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