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LA INTEGRAL DEFINIDA
Definida el área bajo f, y sobre el eje X, comprendida entre a y b, se define el símbolo: A_a^b=∫_a^b▒f(x)dx que se entiende como la simbolización de esta área.
En [a,b] sedefine la función área hasta x, x∈[a,b], como 〖F(x)=A〗_a^x=∫_a^x▒f(t)dt.
TEOREMA DE VALOR MEDIO PARA LAS INTEGRALES.
Sea f continua en el intervalo [a,b] entonces existe un x_0∈[a,b] tal que
〖f(x_0)〗_^ =(b-a)∫_a^b▒f(x)dx.
La continuidad nos garantiza que existe valores mínimo m, y máximo M, para f en [a,b]. Es claro que m(b-a)≤∫_a^b▒〖f(x)dx≤M(b-a)〗. De donde se desprende inmediatamente quem≤(∫_a^b▒f(x)dx)/((b-a))≤M. Nuevamente la continuidad nos garantiza que f(x) toma todos los valores entre m y M. Luego, existe x_0∈[a,b] tal que f(x_0 )=(∫_a^b▒f(x)dx)/((b-a)) , podemos concluir que(b-a)f(x_0 )=∫_a^b▒f(x)dx.
TEOREMA DE LA ANTIDERIVADA
Si F(x)=∫_a^x▒f(t)dt, entonces F´(x)=f(x).
Demostración:
Consideremos F(x+h)-F(x)=∫_a^(x+h)▒〖f(t)dt-∫_a^x▒〖f(t)dt=∫_x^(x+h)▒f(t)dt〗〗
Por elteorema del valor medio para integrales existe x_0∈[x,x+h] tal que (x+h-x)f(x_0 )=∫_x^(x+h)▒f(t)dt . De donde se infiere que x_0∈[x,x+h] tal que hf(x_0 )=∫_x^(x+h)▒f(t)dt=F(x+h)-F(x). Despejando setiene f(x_0 )=(F(x+h)-F(x))/h. Si hacemos tender h a cero x0 tenderá a x y por lo tanto f(x)=lim┬(h→0)⁡〖(F(x+h)-F(x))/h=F´(x).〗 Resumiendo f(x) =⁡〖F´(x).〗
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Sea fcontinua en el intervalo [a,b] y sea F(x) tal que F´(x)=f(x), entonces
∫_a^b▒〖f(x)dx=F(b)-F(a)〗
De acuerdo con el teorema anterior F(x)=∫_a^x▒f(t)dt+C, pero F(a)=∫_a^a▒f(t)dt=0
Luego0=∫_a^a▒f(t)dt=F(a)+C□(⇒┬ ) F(a)=-C. Sustituyendo se tiene:
∫_a^b▒〖f(x)dx=F(b)-F(a)〗.
CÁLCULO DE ÁREAS
Considérese la función f:R□(→┬ ) R definidda por f(x)=x^3-4x cuya gráfica se muestra a continuación:

Se puedeapreciar que la función tiene partes del dibujo sobre el eje de las abscisas y parte debajo de él. Con el fin de aplicar el concepto de integral definida visto anteriormente hagamos una...