Mate

CURSO 12-13

MD. Tema 1

Prof. Rafael Miñano

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TEMA 1. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES BINARIAS 1. CONJUNTOS 1.1. CONCEPTOS BÁSICOS 1.1.1. Elementos, cardinal, ,  y . - Un conjunto es una colección no ordenada de objetos que llamaremos elementos. - Dado un conjunto X, llamamos cardinal de X al número de elementos de X. Lo denotamospor | X | o bien card(X). Si el conjunto tiene infinitos elementos diremos que tiene cardinal infinito. - Llamamos conjunto vacío a aquél que no tiene elementos y se denota por . Card () = |  | = 0. - Una manera de representar un conjunto es escribir sus elementos separándolos por comas y utilizar las llaves como delimitadores. Normalmente los elementos se designan con letras minúsculas y losconjuntos con mayúsculas. - Para indicar que a es un elemento del conjunto X se escribe a  X y se lee “a pertenece a X ”. - Si a no pertenece al conjunto X se escribe a  X.
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Ejemplos: A = {a, e, i, o, u}, | A |=5, e  A, m  A. B = {0, 1, 2, 3,…, 9}, | B |=10, 5  B, 10  B. A y B son conjuntos finitos. N = {0, 1, 2, … } (números naturales), | N | =  (es infinito). 0 N, 3  N. Un conjuntopuede definirse: - enumerando todos los elementos del conjunto (o bien hasta que la regla de pertenencia está clara). - dando una propiedad que cumplan los elementos del conjunto y sólo ellos. Ejemplo: Sean P el conjunto de los números impares positivos y Q el de los cuatro primeros números pares positivos. Se pueden dar las siguientes definiciones: P = {1, 3, 5, ...} P = {x / x es impar y 0  x}P = {2n + 1 / n  N} Q = {2, 4, 6, 8} = {4, 6, 2, 8} Q = {x / x es par y 0 < x  8} Q = {2n / n  {1, 2, 3, 4}}
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Ejercicio: Di quiénes son los siguientes conjuntos: A = {2n + 5 / n  {2, 1, 0, 1} } B = {2x / x  {2, 1, 2, 3, 4} } C = {x / x es alumno de la EUI y edad(x) < 10 años} D= {x / x + 1 es par y positivo} 1.1.2. Subconjuntos, , . partes de un conjunto.

c) Igual que N, tienen una notación especial: - El conjunto de los números enteros Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...}. - El conjunto de los números racionales Q = { a/b | a, b  Z, b  0 }. - El conjunto de los números reales R o el de los complejos C C = { a+bi | a, b  R }. Y se verifica la siguiente cadenade inclusiones: N  Z  Q  R  C. Definición. Se dice que X es un subconjunto propio de Y, y se denota por X  Y, si X es subconjunto de Y que es distinto de Y. Es decir, X  Y cuando “X  Y y  a  Y tal que a  X “ Ejercicio: Probar que las inclusiones del apartado c) (anterior) son estrictas. Notación: Para indicar que se elimina el 0 de los conjuntos anteriores utilizaremos como superíndiceel símbolo *. Por ejemplo, N* = { 1, 2, 3, ...}.
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Conjunto de las

Se dice que X es subconjunto de Y si todo elemento de X es un elemento de Y. Se denota por X  Y. Es decir, X  Y cuando “si aX entonces aY”. En este caso, se dice también que X está contenido en Y o bien que Y contiene a X. Si X no está contenido en Y se denota X  Y. En este caso:  a  X tal que a  Y. Observaciones: a)Algunos autores utilizan el símbolo  en lugar de . b) Para cualquier conjunto X:   X y X  X.
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Además, para restringirnos a los elementos estrictamente positivos utilizaremos el superíndice +. Por ejemplo, R+ = {a  R / a > 0}.

Definición. Dado un conjunto X, llamamos conjunto delas partes de X, y lo denotamos por P (X), al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de X. Es decir, A  P(X)  A  X Ejemplo: Si X = {a, b} y Y = {a, 1, 4} entonces: P(X) = {, {a}, {b}, X} P(Y ) = {, {a}, {1}, {4}, {a, 1}, {a, 4}, {1, 4}, Y} Proposición. Dado un conjunto finito X de cardinal n  N, se tiene que | P(X ) | = 2n. Ejemplo: Y = {a, 1, 4}, | Y | = 3, | P(Y) | = 23 = 8....