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DINÁMICA DE LA ROTACIÓN

ELABORADO POR JULIO CESAR MACIAS ZAMORA

3.4. Ley de Gravitación Universal y Leyes de Kepler.
En su teoría de la gravitación universal Isaac Newton (1642-1727) explicó las leyes de Kepler
y, por tanto, los movimientos celestes, a partir de la existencia de una fuerza, la fuerza de la gravedad, que
actuando a distancia produce una atracción entre masas. Esta fuerzade gravedad demostró que es la
misma fuerza que en la superficie de la Tierra denominamos peso.
Newton demostró que la fuerza de la gravedad tiene la dirección de la recta que une los centros de
los astros y el sentido corresponde a una atracción. Es una fuerza directamente proporcional al producto
de las masas que interactúan e inversamente proporcional a la distancia que las separa. Laconstante de
proporcionalidad, G, se denomina constante de gravitación universal, y tiene un valor de 6.67x10-11
Nm2/kg2.

Figura 333
Newton consiguió explicar con su fuerza de la gravedad el movimiento elíptico de los planetas. La
fuerza de la gravedad sobre el planeta de masa m va dirigida al foco, donde se halla el Sol, de masa M, y
puede descomponerse en dos componentes:
•
existe unacomponente tangencial (dirección tangente a la curva elíptica) que
produce el efecto de aceleración y desaceleración de los planetas en su órbita (variación del
módulo del vector velocidad);
•
la componente normal, perpendicular a la anterior, explica el cambio de
dirección del vector velocidad, por tanto la trayectoria elíptica. En la figura adjunta se representa
el movimiento de un planetadesde el afelio (B) al perihelio (A), es decir, la mitad de la trayectoria
dónde se acelera. Se observa que existe una componente de la fuerza, la tangencial que tiene el
mismo sentido que la velocidad, produciendo su variación.

Figura 334
3.4. Ley de Gravitación Universal y leyes de Kepler.

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DINÁMICA DE LA ROTACIÓN

ELABORADO POR JULIO CESAR MACIAS ZAMORA

Una partícula de masa mque se encuentre sobre la superficie terrestre, moviéndose entre dos puntos
cualesquiera, esta bajo la influencia de la fuerza gravitacional.
El cambio de energía potencial de la partícula de masa m se define como el trabajo negativo realizado por la
fuerza gravitacional, en este caso:

Reemplazando en esta expresión la fuerza gravitacional, para calcular la energía potencial gravitacional dela
partícula de masa m, se obtiene:

Como el punto de referencia inicial para la energía potencial es arbitrario, se puede elegir en r = ∞, donde la
fuerza gravitacional (y la aceleración de gravedad) es cero. Con esta elección se obtiene la energía potencial
gravitacional general para una partícula de masa m ubicada a una altura r medida desde el centro de la
Tierra:

Suponga que un objetode masa m se lanza verticalmente hacia arriba desde la
superficie terrestre con una velocidad vi, como se muestra en la figura 335.
Podemos utilizar consideraciones de energía para encontrar el valor mínimo de la
velocidad inicial con la cual el objeto escapará del campo gravitacional de la
Tierra. La ecuación anterior nos brinda la energía total del objeto en cualquier
punto cuando seconocen su velocidad y distancia desde el centro de la Tierra. En
la superficie de ésta vi = v y ri = RT . Cuando el objeto alcanza su altura máxima,
vf = 0 y rf = rmáx. Debido a que la energía total del sistema es constante, al
reemplazar estas condiciones se obtiene:

Figura 335
Al despejar v2i se obtiene

En consecuencia, si se conoce la velocidad inicial, esta expresión puede usarse paracalcular la altura máxima
h, puesto que sabemos que h = rmáx - RT. Ahora tenemos la posibilidad de calcular la velocidad mínima que
el objeto debe tener en la superficie terrestre para escapar de la influencia del campo gravitacional del
planeta. Al viajar a esta velocidad mínima, el objeto puede alcanzar justamente el infinito con una velocidad
final igual a cero. Al establecer rmáx = ∞ en la...