Mate
Páginas: 8 (1837 palabras)
Publicado: 6 de diciembre de 2012
Eliminación de gauss-jordan
Resumen:i. Dividimos para hacer igual a 1 el coeficiente de x1 en la primera ecuación.ii. "Eliminamos" los terminos en x1 de la segunda y tercera ecuaciones. Esto es, hicimos los coeficientes de estos términos iguales a cero multiplicando la primera ecuación por números apropiados y después sumándola a la segunda y tercera ecuaciones, respectivamente.iii. Dividimospara hacer igual a 1 el coeficiente del término en x2 en la segunda ecuación y después usamos ésta para eliminar los términos en x2de la primera y tercera ecuaciones.iv. Dividimos para hacer igual a 1 el coeficiente del término en x3 de la tercera ecuación y después usamos esta ecuación para eliminar los términos en x3 de la primera y segunda ecuaciones .Debemos enfatizar que en cada paso obtuvimossistemas que son equivalentes. Esto es, cada sistema tiene el mismo conjunto de soluciones que el sistema anterior. |
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MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE GAUSS-JORDAN
El siguiente esquema muestra cómo podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales aplicando este método.
Partimos, inicialmente, de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, compatible determinado:
En primer lugar,aplicando sucesivamente el método de reducción, eliminamos en todas las ecuaciones, excepto en la primera, la incógnita x1, obteniéndose un sistema equivalente:
En segundo lugar, aplicando nuevamente el método de reducción de forma sucesiva, eliminamos en todas las ecuaciones, excepto en las dos primeras, la incógnita x2, obteniéndose un sistema equivalente:
Para resolverlo despejamos, enprimer lugar, la única incógnita de la última ecuación. Luego sustituimos ésta en la penúltima ecuación y despejamos la otra incógnita. Posteriormente, sustituimos dos de las tres incógnitas de la antepenúltima ecuación por sus valores y despejamos la que queda, y así sucesivamente hasta llegar a la primera ecuación.
Las transformaciones que podemos realizar en dicha matriz para transformar elsistema inicial en otro equivalente son las siguientes:
* Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero.
* Sumarle o restarle a una fila otra fila.
* Sumarle a una fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero.
* Cambiar el orden de las filas.
* Cambiar el orden de las columnas que corresponden a las incógnitas del sistema, teniendo encuenta los cambios realizados a la hora de escribir el nuevo sistema equivalente. Es decir: si, por ejemplo, la 2ª columna corresponde a la incógnita y y la tercera a la incógnita z, y cambiamos el orden de las columnas, ahora la 2ª columna corresponde a la incógnita z y la tercera a la incógnita y.
* Eliminar filas proporcionales o que sean combinación lineal de otras.
* Eliminar filasnulas (0 0 0 ... 0).
Después de realizar las transformaciones que se consideren pertinentes, se obtendrá un sistema escalonado. Suponiendo que hubiésemos eliminado, si las hubiera, las filas nulas (0 0 0 ... 0), que corresponden a ecuaciones del tipo 0 = 0, el sistema equivalente tendría ahora k ecuaciones lineales con n incógnitas.
Analizando el sistema resultante, podemos efectuar su discusióndel siguiente modo:
* Si alguna de las ecuaciones es del tipo 0 = b (siendo b distinto de cero), el sistema es incompatible y no tiene solución.
* Si no hay ecuaciones del tipo 0 = b, y además k = n, es decir, el número de ecuaciones del sistema equivalente es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y, por lo tanto, tiene una única solución.
* Si no hayecuaciones del tipo 0 = b y k < n, es decir, el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado y, en consecuencia, tiene infinitas soluciones. En este caso, tenemos que separar las incógnitas principales de las no principales.
Pero, ¿cuáles son las incógnitas principales? Se puede dar el siguiente criterio: Si el sistema es escalonado y tiene...
Resumen:i. Dividimos para hacer igual a 1 el coeficiente de x1 en la primera ecuación.ii. "Eliminamos" los terminos en x1 de la segunda y tercera ecuaciones. Esto es, hicimos los coeficientes de estos términos iguales a cero multiplicando la primera ecuación por números apropiados y después sumándola a la segunda y tercera ecuaciones, respectivamente.iii. Dividimospara hacer igual a 1 el coeficiente del término en x2 en la segunda ecuación y después usamos ésta para eliminar los términos en x2de la primera y tercera ecuaciones.iv. Dividimos para hacer igual a 1 el coeficiente del término en x3 de la tercera ecuación y después usamos esta ecuación para eliminar los términos en x3 de la primera y segunda ecuaciones .Debemos enfatizar que en cada paso obtuvimossistemas que son equivalentes. Esto es, cada sistema tiene el mismo conjunto de soluciones que el sistema anterior. |
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MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE GAUSS-JORDAN
El siguiente esquema muestra cómo podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales aplicando este método.
Partimos, inicialmente, de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, compatible determinado:
En primer lugar,aplicando sucesivamente el método de reducción, eliminamos en todas las ecuaciones, excepto en la primera, la incógnita x1, obteniéndose un sistema equivalente:
En segundo lugar, aplicando nuevamente el método de reducción de forma sucesiva, eliminamos en todas las ecuaciones, excepto en las dos primeras, la incógnita x2, obteniéndose un sistema equivalente:
Para resolverlo despejamos, enprimer lugar, la única incógnita de la última ecuación. Luego sustituimos ésta en la penúltima ecuación y despejamos la otra incógnita. Posteriormente, sustituimos dos de las tres incógnitas de la antepenúltima ecuación por sus valores y despejamos la que queda, y así sucesivamente hasta llegar a la primera ecuación.
Las transformaciones que podemos realizar en dicha matriz para transformar elsistema inicial en otro equivalente son las siguientes:
* Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero.
* Sumarle o restarle a una fila otra fila.
* Sumarle a una fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero.
* Cambiar el orden de las filas.
* Cambiar el orden de las columnas que corresponden a las incógnitas del sistema, teniendo encuenta los cambios realizados a la hora de escribir el nuevo sistema equivalente. Es decir: si, por ejemplo, la 2ª columna corresponde a la incógnita y y la tercera a la incógnita z, y cambiamos el orden de las columnas, ahora la 2ª columna corresponde a la incógnita z y la tercera a la incógnita y.
* Eliminar filas proporcionales o que sean combinación lineal de otras.
* Eliminar filasnulas (0 0 0 ... 0).
Después de realizar las transformaciones que se consideren pertinentes, se obtendrá un sistema escalonado. Suponiendo que hubiésemos eliminado, si las hubiera, las filas nulas (0 0 0 ... 0), que corresponden a ecuaciones del tipo 0 = 0, el sistema equivalente tendría ahora k ecuaciones lineales con n incógnitas.
Analizando el sistema resultante, podemos efectuar su discusióndel siguiente modo:
* Si alguna de las ecuaciones es del tipo 0 = b (siendo b distinto de cero), el sistema es incompatible y no tiene solución.
* Si no hay ecuaciones del tipo 0 = b, y además k = n, es decir, el número de ecuaciones del sistema equivalente es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y, por lo tanto, tiene una única solución.
* Si no hayecuaciones del tipo 0 = b y k < n, es decir, el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado y, en consecuencia, tiene infinitas soluciones. En este caso, tenemos que separar las incógnitas principales de las no principales.
Pero, ¿cuáles son las incógnitas principales? Se puede dar el siguiente criterio: Si el sistema es escalonado y tiene...
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