Mate

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Teorema de Ceva.

Sean AB,BC,CA los lados del triángulo ABC. Sean l,m,n rectas que pasan por A,B,C respectivamente. Sea L=BC l, M=AC m, N=AB n. Las rectas l,m,n concurren en un punto P <=> AM CL BN . . =1 M C LB N A

Demostración:
AM CL 1.a) Si l,m,n concurren en P => M C . LB . BN = 1 NA

(ABC) denota el area del triangulo ABC. Sea h la altura del ∆ABC con respecto al lado AC, que es a su vezaltura de ∆ABM y ∆CBM => (ABM)= AM.h y (CBM)= M C.h 2 2 (ABM AM => (CBM ) = M C (1) ) Realizando el mismo procedimiento para ∆APM y ∆CPM se (AP AM tiene que => (CP M ) = M C (2) M) Igualando (1) y (2) tenemos =>
(ABM ) (AP M ) = . (CBM ) (CP M )

Ahora, utilizaremos la siguiente propiedad de los números reales: Sean a,b,c,d números reales se cumple que si a+c = a−c b+d b−d =>
(ABM ) (AP M ) (ABM)−(AP M ) = = (CBM ) (CP M ) (CBM )−(CP M ) a b

=

c d

=>

a b

=

c d

=

(ABP AM = (BCP ) = M C (3) )

1

Realizando el mismo procedimiento para los lados AB y BC obtenemos:
(ACP ) CL = (ABP ) LB (BCP ) BN = (ACP ) N A

(4) (5)
AM CM CL . LB . BN = NA (ABP ) (ACP ) (BCP ) . . (BCP ) (ABP ) (ACP )

=> (3).(4).(5) =>
(ABP ) (ACP ) (BCP ) . . (ABP ) (ACP ) (BCP )

=

=1 . Demostrando así 1.a) =1 => l,m,n concurren en P.

1.b) Si

AM CL BN . . M C LB N A

Procedamos por contradicción. Supongamos que l,m,n no concurren en P . Y sea P=l m, sea n una recta por C que pasa por P => l,m,n concurren por lo tanto si N =n AB por 1.a) se AM CL AM CL tiene: CM . LB . BNA =1 (i) y por 1.b) M C . LB . BN = 1(ii) N NA => por (i) y (ii) se tiene: BNA = BN pero N y N pertenecen al N NA segmento AB y nohay dos puntos dentro de un segmento que lo partan en razones iguales => N = N => n=n y como l,m,n concurren en P => l,n,m concurren en P. Demostrando así 1.b)
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Problema 1

Sea C una circunferencia y dado un triángulo ∆ABC, sean L,L ,M,M ,N,N los puntos de corte de C con el triángulo ∆ABC sobre los lados BC,CA,AB respectivamente. Demostrar que si AL,BM,CN concurren => AL ,BM ,CN concurren.

2Demostración: Como AL,BM,CN concurren => por el Teorema de Ceva tenAM CL emos: M C . LB . BN = 1 (1) NA Por otra parte si Pc(A) denota la potencia de punto de la circunferencia C con respecto al punto A tenemos que AN Pc(A)=AN.AN =AM.AM => AM = AM (2) NA BL Pc(B)=BN.BN =BL.BL => BN = BN (3) LB CL Pc(C)=CL.CL =CM.CM => M C = CM (4) CL L N Para que AL ,BM ,CN concurran debe cumplirse que : M C . CLB. BNA = 1 AM CL AN BL M LB N Realizando (2).(3).(4) => AM . BN . M C = AM . BN . CM = AMC . CL . BNA N A LB CL L N y sustiyendo (1) tenemos que: M C . CLB . BNA = 1 Demostrando así AM lo que queríamos.
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Problemas Propuestos:

1. Demostrar las siguientes afirmacione usando el Teorema de Ceva. a) Las medianas de un triangulo concurren b) Las bisectrices de un triangulo concurren c) Las alturas deun triangulo concurren. d) La bisectriz interna de un angulo y dos bisectrices extrernas los otros dos angulos concurren. 2. En un triángulo ∆ABC la recta obtenida por la reflexión de la mediana del vértica A sobre la bisectriz del BX . CY . ZB = 1 XC Y A
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Demostración:

3

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2.a) Si X,Y,Z son colineales =>

BX CY AZ . . = XC Y A ZB

1

Sea l la recta que pasa por los puntos X,Y,Z . Sean L,M,N los pies de las perpendiculares desde C,A,B respectivamente hasta la recta l. Como CL,AM,BN son perpendiculares a l =>CL//AM//BN => como CL//BN tenemos que : ∆BNX~ ∆CLX => BN = BX CL XC (1) Como ∆AMZ~ ∆BNZ => AM = ZB (2) BN Analogamente como ∆CLY~ ∆AMY => AM = CY (3) YA Multiplicando (1).(2).(3) tenemos => AZ BN AM CL . . = 1 = BX . ZB . CY Demostrando así lo que se quería. CL BN AM XC...