Mate

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C´lculo Diferencial a
Tarea: N´ meros Reales u Fecha de examen: 03 de septiembre de 2010. 1. Resuelve las siguientes desigualdades a) x − 7 < 2x + 5 b) 7x + 3 ≤ 9x − 17 c) −3 < 4x − 9 < 11 x+4d) 0 q) x 1−x 2. Demostrar lo siguiente: a) 1 1 = , si x ̸= 0. x |x| b) |x − y| ≤ |x| + |y| c) |x| − |y| ≤ |x − y| d ) ||x| − |y|| ≤ |x − y|, ¿Por qu´ se sigue esto inmediatamente de (c)? e e) |x + y+ z| ≤ |x| + |y| + |z|

2 f ) Si 0 ≤ a < b y 0 ≤ c < d, entonces ac < bd g) si 0 < x < y entonces 0 < 1/y < 1/x. 3. Demostrar que si 0 < a < b, entonces a< √ ab < a+b < b. 2

a u a ı a ınimo de xe y se 4. El m´ximo de dos n´mero se denota m´x(x, y). As´ m´x(−1, 3) = 3. El m´ denota por m´ ın(x, y). Demostrar que m´x(x, y) = a m´ ın(x, y) = x + y + |y − x| , 2 x + y − |y − x| . 2

5.Demostrar que si x e y no son cero los dos, entonces x2 + xy + y 2 > 0. Recomendaci´n: Usa la siguiente igualdad x3 − y 3 = (x − y)(x2 + xy + y 2 ). o 6. a) Sup´ngase que b2 − 4c ≥ 0. Demostrar que losn´meros o u √ √ −b + b2 − c −b − b2 − c , 2 2 satisfacen la ecuaci´n x2 + bx + c = 0. o b) Sup´ngase b2 − 4c < 0. Demostrar que no existe ning´n n´mero x que satisfaga x2 + o u u bx + c = 0; de hecho es x2+ bx + c > 0 para todo x. Recomendaci´n: “Completar el o cuadrado”, es decir, escribir x2 + bx + c = (x + b/2)2 +?? c) Utilizar este hecho para dar otra demostraci´n de que si x e y no son amboscero, entonces o x2 + xy + y 2 > 0. d ) ¿Para qu´ n´meros α se cumple que x2 + αxy + y 2 > 0 siempre que x e y no sean ambos e u cero. e) H´llese el valor m´ a ınimo posible de x2 + bx + c y de ax2 + bx +c, para a ̸= 0. (Util´ ıcese el artificio de la parte (b).) 7. Si x es un n´mero real arbitrario, probar que existen enteros m y n tales que m < x < n. u 8. Si x > 0 probar que existe un enteropositivo n tal que 1/n < x.

3 9. Si x es un n´mero real arbitrario, demostrar que existe un entero unico n que verifica las u ´ desigualdades n ≤ x ≤ n + 1. Este n se denomina la parte entera de x, se...