Matematica 2

Clase 16

Índice
1. Regla de la cadena
1.1. La regla de la cadena como un procedimiento . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.

1
1
5

Regla de la cadena

1.1.

La regla de la cadena como un procedimiento

La regla de la cadena para funciones de una variable
La regla de la cadena, para funciones deuna variable, es una fórmula que da la
derivada de la función f g (x ) compuesta por dos funciones f y g
d
f g (x ) = f g (x ) g (x )
dx

Cuando tenemos múltiples variables es más complicado.
Si f depende de más de una variable, y algunas de estas dependen a su vez de
otras, no habrá ninguna fórmula que cubra todos los casos. . .
Entonces, ahora habrá que pensar en la regla de la cadenacomo un procedimiento
para derivar funciones compuestas.
Ejemplo 1. Supongamos que estamos caminando por una región montañosa de la cual
tenemos un mapa. ¿Qué tan rápido cambia nuestra altura con respecto al tiempo t ?
1. (x , y ) son las coordenadas de nuestra posición en el mapa.
2. z = f (x , y ) representará la altura del terreno (sobre el nivel del mar) en la posición
(x , y ).
3.Supongamos que caminamos por una senda tal que nuestra posición, en el instante t , está dada por x = u (t ) e y = v (t ) (estas serían las ecuaciones paramétricas
de la senda en el mapa).
4. En cada instante de tiempo t , nuestra altura sobre el nivel del mar estará dada
por la función compuesta
(función de una sola variable)

z = f u (t ), v (t ) = g (t )

5. La respuesta será dada entoncespor g (t )
g (t ) = lim

h →0

= lim

f u (t + h ), v (t + h ) − f u (t ), v (t )
g (t + h ) − g (t )
= lim
h →0
h
h
f u (t + h ), v (t + h ) − f u (t ), v (t + h )

h →0

+ lim

h →0

h
f u (t ), v (t + h ) − f u (t ), v (t )
h

1

6. La regla de la cadena, para funciones de una variable, sugiere entonces que
g (t ) = f u u (t ), v (t ) u (t ) + f v u (t ), v (t ) v (t)

Una versión de la regla de la cadena
Definición 2. Si z es una función de x e y con primeras derivadas parciales continuas,
y si x e y son a su vez funciones derivables de t , entonces
d z ∂z d x ∂z d y
=
+
dt
∂x d t ∂ y d t
z
x

y

t

t

Otra versión de la regla de la cadena
Consideremos ahora una f que depende de dos variables x e y , cada una de las
cuales depende a suvez de dos variables s y t
z = f (x , y )

donde x = u (s , t ) e y = v (s , t ).
Podemos armar la función compuesta
z = f u (s , t ), v (s , t ) = g (s , t )

Por ejemplo, si f (x , y ) = x 2 + 3 y , con u (s , t ) = st 2 y v (s , t ) = s − t , tendríamos
g (s , t ) = s 2 t 4 + 3(s − t )

Otra versión de la regla de la cadena
Definición 3. Si z es una función de x e y con primerasderivadas parciales continuas,
y si x e y dependen de s y t , entonces
∂z ∂z ∂x ∂z ∂ y
=
+
∂s ∂x ∂s ∂ y ∂s
∂z ∂z ∂x ∂z ∂ y
=
+
∂t
∂x ∂t ∂ y ∂t
z
y

x
s

s

t

2

t

Otra versión de la regla de la cadena
Las dos ecuaciones anteriores pueden ser combinadas en una única ecuación
matricial
∂z
∂s

∂z
∂t

=

∂z
∂x

∂z
∂y

∂x
∂s
∂y
∂s

∂x
∂t
∂y
∂t

J

Lamatriz J es llamada la matriz jacobiana o simplemente el jacobiano de la
función z = f (u (s , t ), v (s , t )).
Ejemplo 4. Si z = si n (x 2 y ), con x = st 2 e y = s 2 + 1 , encontrar
t

∂z
∂s

y

∂z
∂t

(a) por substitución directa, con la regla de la cadena para funciones de una variable,
(b) directamente con la regla de la cadena para funciones de múltiples variables.
(a) Porsubstitución directa
z = sin (st 2 ) s 2 +

1
t

= sin s 4 t 4 + s 2 t 3

∂z
= (4s 3 t 4 + 2st 3 ) cos(s 4 t 4 + s 2 t 3 )
∂s
∂z
= (4s 4 t 3 + 3s 2 t 2 ) cos(s 4 t 4 + s 2 t 3 )
∂t

(b) Usando la regla de la cadena
∂z ∂z ∂x ∂z ∂ y
=
+
∂s ∂x ∂s ∂ y ∂s
= 2x y cos(x 2 y ) t 2 + x 2 cos(x 2 y ) 2s
= 2st 2 s 2 +

12
t + 2s 3 t 4 cos(s 4 t 4 + s 2 t 3 )
t

= (4s 3 t 4 + 2st 3 )...