Matematica basica

CAPITULO 2 – Conjuntos.

Lección 4: Producto Cartesiano; relaciones. Relaciones de equivalencia y orden. Tipos de relaciones: inyectivas, suryectivas, biyectivas; correspondencia biunívoca. Funciones, aplicaciones y transformaciones.

PRODUCTO CARTESIANO.

Dados dos conjuntos A y B, llamamos producto cartesiano al conjunto de todos los pares posibles de elementos, tomando el primerelemento del par del conjunto A y el segundo elemento del par del conjunto B. Por esta razón decimos que los pares son ordenados. Simbólicamente expresamos:
A x B = {(x, y) / x ( A, y ( B}
Los conjuntos A y B pueden ser un único conjunto, en cuyo caso tendremos A x A que se puede expresar con A2 . En consecuencia: A x B ( B x A, dado que el par (x, y) no es igual al par (y, x)por ser ordenados. Luego el producto cartesiano no es conmutativo.

RELACIONES.

Dados dos conjuntos A y B, definimos una relación entre los elementos de estos dos conjuntos, cuando damos una propiedad que vinculen elementos del primer conjunto con elementos del segundo. Así por ejemplo, si
A = {niños de una familia determinada} = {María, Juan, Luis, Raúl} y
B = {1, 2, 3,..., 20}, podemos definir una relación "x tiene por edad y", donde x representa uno cualquiera de los niños mencionados e y será la edad en años correspondiente. La relación estará definida entonces por el conjunto:
R = {(María; 13), (Juan; 11), (Luis; 15), (Raúl; 15)}

Como se ve una relación entre los elementos de dos conjuntos A y B es un conjunto de pares ordenados de elementospertenecientes a esos conjuntos que verifican una propiedad.
R = {(x, y) / x ( A, y ( B ; x, y verifican una propiedad}
Una relación puede expresarse también con: x R y.

Relación inversa: Si x R y es una relación, entonces el conjunto formado por pares (y, x) de aquella, es otra relación en general distinta de R que denominamos relación inversa, y se simboliza con R-1 .Luego R-1 = { (y, x) / (x, y) ( R }

ALCANCE, RANGO, DOMINIO Y CODOMINIO.

Conforme con estas definiciones y a la de producto cartesiano resulta evidente que toda relación entre elementos de un conjunto A y otro B, es simplemente un subconjunto de A x B.
Al conjunto A se lo denomina alcance y al conjunto B se lo llama rango.
Por otra parte como una relación es unsubconjunto de A x B, en general solo algunos elementos de A estarán vinculados con algunos elementos de B. Es decir en A existirá un subconjunto formado por elementos vinculados con algún elemento de B, este subconjunto se denomina dominio de la relación; ellos constituirán los primeros elementos de cada par. Del mismo modo no todos los elementos de B estarán vinculados con los elementos de A;luego a este subconjunto de B se lo denomina codominio de la relación; ellos serán segundo elemento de cada par.
Es decir: D ( A y C ( B
El gráfico ilustra estas definiciones.

Son ejemplos de relaciones conocidas por el estudiante: la igualdad, la relación de menor () entre números, el paralelismo (//), la perpendicularidad entre rectas, la congruencia entrefiguras del plano, etc.

TIPOS DE RELACIONES.

De acuerdo con las propiedades que poseen las diversas relaciones, es posible clasificarlas en dos grandes tipos.

Relaciones de equivalencia: Cuando una relación está definida en un conjunto A2 y posee las siguientes propiedades:
p1) Propiedad reflexiva: cada elemento está vinculado consigo mismo por la relación definida. Es decir:x R x
p2) Propiedad simétrica: Si un elemento está vinculado con otro, entonces éste está vinculado con aquel. Es decir:
Si x R y ( y R x
p3) Propiedad transitiva: Si un elemento está vinculado con otro, por medio de la relación, y éste está vinculado con un tercero, entonces el primero está vinculado con el tercero. Es decir:
Si x R y e y R z (...