matematica.funcion cuadratica

Función cuadrática
Cuando le preguntaron su edad a un joven aficionado a la matemática,
respondió:
"El duplo de la edad que tendré dentro de cuatro años menos el
cuádruplo del cuadrado de la edad que tenía hace cuatro años, es el
cuádruplo de la edad que tendré dentro de doce años."
Para poder averiguar la edad del joven, y otras cuestiones, estudiaremos la
función cuadrática, su gráfica,ceros, crecimiento, decrecimiento,
aplicaciones, etcétera, etcétera.
Como su nombre lo sugiere aparece la “x” elevada al cuadrado.
Son ejemplos de función cuadrática:
f ( x ) = x2 + 1 ;

f ( x) = 5 x 2

f ( x) = 2 x 2 + 6 x + 112

3 x + 1;

Se caracterizan porque la potencia de la variable (x, t, z) tiene por potencia a
dos. Es decir, tiene la forma: ax 2 + bx + c donde a, b y c sonconstantes y x
puede ser cualquier número real.
Ejemplo: f ( x ) = x 2 4 x + 3 para graficarla haremos una tabla de valores,
mediante la cual obtendremos algunos de los pares ordenados
correspondientes a su gráfica.
y = f(x) = x 2

x

1

( 1)2

4x + 3

8

4.( 1) + 3 = 8

2

4.0 + 3 = 3

1
2

1
2

2

1
2

(1)2
(2)2

3

32

6

0

0

4

1
5
4.
+3=
24

2

4.(1) + 3 = 0
4.(2) + 3 = -1

-1

1

2

3

4.3 + 3 = 0

La gráfica de la función cuadrática recibe el nombre de parábola.

4

5

Si observás desde 2 hacia la izquierda y hacia la derecha los resultados se
repiten y, gráficamente vemos dos ramas simétricas respecto de la recta x = 2.
Dicha recta recibe el nombre de eje de simetría.
La parábola y la recta x = 2 secruzan en el punto que tiene como abscisa a x
= 2 y como ordenada a y = -1, se lee el punto (2,-1), y se llama vértice.

ACTIVIDAD 1
Completá las siguientes tablas y representá gráficamente:

y = 3x2

x

y=

x

1 2
x
3

1
2
.( 2) =
3
1
2
.( 1,5) =
1,5
3
1
2
.( 1) =
1
3
1 2
.0 =
0
3
1 2
1
.(1) =
3
1
2
1,5
.(1,5) =
3
1 2
2
.2 =
3

y = -3 x 2

xx

2

3.( 2)2 =
1,5 3.( 1,5)2 =
2

1

3.( 1)2 =

0

3.02 =

1

3.12 =
3.(1,5)2 =
3.(2)2 =

1,5
2

2

2
1,5
1

- 3.(- 2)2 =

1,5

- 3.(- 1,5)2 =

- 3.(- 1)2 =

1

0

- 3.02 =

1

- 3.12 =

1,5

- 3.1,52 =

1

2

- 3.22 =

1,5

0

2

Actividad 2
Observando las gráficas de la actividad 1, completá:
y = 3 x 2 tiene eje de simetría en x=......... y vértice en V=( ....;....)
y=

1 2
x tiene eje de simetría en x =......... y vértice en V=( ....;....)
3

y = 3 x 2 tiene eje de simetría en x =......... y vértice en V=( ....;....)
y=

1 2
x tiene eje de simetría en x =......... y vértice en V=( ....;....)
3

y=

1 2
x
3

1
- .( 2)2 =
3
1
- .( 1,5 )2 =
3
1
- .( 1)2 =
3
1 2
- .0 =
3
1
- .12 =
3
1
-.1,5 2 =
3
1 2
- .2 =
3

Conclusión: cuando el número que acompaña a la x 2 es positivo la parábola
es sonriente
cuando el número que acompaña a la x 2 es negativo la parábola es
triste
Actividad 3
Completá las siguientes tablas y representá gráficamente:
y = x2

x

2
1,5

x
2
1,5

1

y = x2 + 2

1

y = x2

x

2
1,5
1

0

0

0

1

1

1

1,5
21,5
2

1,5
2

Actividad 4
Observando los gráficos de la actividad 3, completá:
Todas las parábolas tienen el eje de simetría en x = .....; el vértice en (....;....); y
las tres son sonrientes, es decir son cóncavas hacia arriba.
Las tres son la misma curva pero el gráfico de y = x 2 + 2 está desplazado hacia
................. y el gráfico de y = x 2

2 está desplazadohacia...................

Actividad 5
Antes de resolver esta actividad repasá, en la primera etapa, el cuadrado de un
binomio y luego completá las siguientes tablas y graficá:

2

y = ( x 2 )2

x

2
1,5

x
2
1,5

1

y = ( x + 2 )2

1

0

0

1

1

1,5
2

1,5
2

Actividad 6
Observando los gráficos de la actividad 5, completá:
y = ( x 2 )2 tiene eje de simetría en x...