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Capítulo II: Continuidad y límite funcional
En este capítulo tratamos el concepto de continuidad, una de la idea más fascinante de toda la matemática. Hablando intuitivamente, la idea se puede entender con el siguiente ejemplo: Consideremos una ley física de la forma P = f (V ), que relaciona los valores de una "variable independiente V"(podemos pensar que es el volumen de un gas) con otra"variable dependiente P"(podemos pensar que es la presión). Si queremos usar dicha ley, hemos de medir un valor Vo de la variable V, y es inevitable que al hacerlo cometamos algún error el cual, naturalmente, influye en el correspondiente valor de P, que ya no será exactamente igual a P0 = f (V0 ). Surge así la pregunta natural: ¿de qué forma el error en la medida de V afecta al valor resultante de P?Es claro que si para valores de V "muy próximos ” a Vo obtengo valores de P muy diferentes entre sí, la ley "f "que relaciona V con P no tendrá ninguna utilidad práctica. Una ley resultará práctica, por el contrario, si para cualquier sistema de medida, inventado y no inventado, la mayor precisión en la medida del volumen V0 repercuta en la mayor precisión del valor de la presión P0 . Cuando estoocurre decimos que la ley "f ” es continua en Vo. Resumiendo: se dice que una función f es continua en un punto a, si siempre que x se acerque al punto a, de cualquier forma, el correspondiente valor de la función f (x) se acerca a f (a). Por otra parte, la continuidad de una función es fácilmente reconocible sin más que observar su gráfica: Repasemos alguno de los ejemplos visto anteriormente x+1Recordemos que si A = [−2, 3] y f (x) = x2 +1 , entonces su gráfica puede ser representada por
1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 -2 -1 -0.2 1 2 3

por lo que puede adivinarse que esta función es continua en todo su dominio. Sabemos en cambio que la gráfica de la función E(x) restringida al conjunto A puede ser representada por

2
2

1

-2

-1

1

2

3

-1

-2

lo que pone de manifiestoque la función parte entera no es continua en los valores enteros del dominio.

Cuando se empezó a desarrollar el Cálculo, la mayor parte de las funciones con las que se trabajaba eran continuas, y por tanto no se tenía la necesidad de penetrar en el significado exacto de continuidad. Fue ya entrado el siglo XVIII cuando se presentaron algunas funciones discontinuas en conexión con distintosproblemas de la Física. En particular, los trabajos de Fourier sobre la Teoría del calor. Despues de varios intentos más o menos afortunados, Cauchy dio por primera vez en 1821 una definición matemática satisfactoria, que aún hoy día, puede exponerse más fácilmente por medio del concepto de límite que introduciremos también en este segundo cápítulo.

Índice general
1. Números reales, vectores yfunciones 2. Continuidad y límite funcional. 2.1. Límite Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Puntos de acumulación. . . . . . . . . 2.1.2. Límite funcional y límites laterales. . . 2.1.3. Límites en el infinito. . . . . . . . . . . 2.1.4. Funciones divergentes . . . . . . . . . . 2.1.5. Algebra de límites. . . . . . . . . . . . 2.1.6. Indeterminaciones . . . . . . . . . . . . 2.1.7.Funciones asintóticamente equivalentes. 2.1.8. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . 2.2. Límite funcional en varias variables . . . . . . 2.2.1. Límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Límites según un conjunto . . . . . . . 2.2.3. Reducción al caso n = 1 . . . . . . . . 2.2.4. Caso q = 2 y n = 1 . . . . . . . . . . . 2.2.5. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . 2.3. Funcionescontinuas . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4. Funciones reales de variable real . . . . 2.3.5. Relación de Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
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