Matematica

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL NÚCLEO ARAGUA – SEDE MARACAY

Abril 2011

Prologo
El presente material tiene como finalidad, servir de apoyo a los estudiantes de ingeniería, cursantes de Matemática III de la Universidad Nacional Experimental de las Fuerzas Armadas, enningún momento pretende sustituir texto alguno, ni el carácter de investigador que debe desarrollar cada participante de estos cursos. El estudio de está asignatura, proporcionará a los estudiantes de ingeniería de una valiosa herramienta, para la comprensión de las otras áreas de estudio de la carrera, también contribuirá al desarrollo cognitivo, mejorando la capacidad de análisis, de loseducandos. El contenido temático de la asignatura presentada, consiste en hacer extensivo el estudio de las funciones, presentando funciones de varias variables, haciendo hincapié, particularmente, en el de dos variables. Contiene Definiciones, Teoremas, Ejemplos, Ejercicios y Gráficos, recopilados de diferentes fuentes en la red, como bibliográficas y propias del autor. Esperando que sea provechoso eluso de este material por parte de los educandos, así como también su valorización por parte de los usuarios del mismo

Prof.: Gustavo Cespedes

UNIDADI

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

FUNCIONES DE DOS VARIABLES Una función de valor real, f, de x, y, z,... es una regla para obtener un nuevo numero, que se escribe como f(x, y, z,...), a partir de los valores de una secuencia de variablesindependientes (x, y, z, ...). La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables independientes, y así sucesivamente. Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (pormedio de una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica).

Definición 1: Una función f de dos variables es una correspondencia que asocia a cada par ordenado de números reales (x, y) de un conjunto D, un número único “z” denotado por z =(x,y). El conjunto D es el dominio de f.

Dominio de una función. El dominio de la función f, que se denota por Domf, se representa por:

 Domf = ( x, y ) ∈ R 2 / ∃ ! z = f ( x, y ) ∈ R   
Rango Es el conjunto RgoF = { f ( x, y ) ∈ R/

∈

}

(x

,

y

Para la función dada por z=f(x, y), llamamos variables independientes a x e y, siendo z la variable dependiente. Al igual que con las funciones de una variable, generalmente se usan ecuaciones para describir funciones de varias variables, y a menos que se restrinja en otrosentido, suponemos que el dominio es el conjunto de todos los puntos para los que la ecuación está bien definida. Por ejemplo, el dominio de la función z = f ( x, y ) = x 3 + xy + y 3 , se supone que es todo el plano xy. Generalmente el dominio es un conjunto que representa regiones restringidas del plano xy.

)

D

1

Espacio tridimensional y la gráfica de una función de dos variablesLos puntos en el espacio tridimensional R3 tienen coordenadas como se muestra en la figura 1.

Figura 1
•

La coordenada x de un punto es su distancia por delante del plano yz. (Si está negativa la coordenada x, el punto se está detrás del plano yz.)

•

La coordenada y de un punto es su distancia a la derecha del plano xz. (Si está negativa la coordenada y, el punto se está a la izquierdadel plano xz.)

•

La

coordenada

z

de

un

punto

es

su

altura

sobre

el

plano

xy.

(Si está negativa la coordenada z, el punto se está debajo del plano xy.)

Figura 2

2

Gráfica de una función de dos variables La gráfica de la función f de dos variables es el conjunto de todos puntos (x, y, f(x, y)) en espacio tridimensional, donde los valores de...