Matematica

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ANÁLISIS MATEMÁTICO
Aprecia do/a es tudi ante: La a signatu ra constituye u na di s ciplina bá s y e s cial en la form ación de todo p rofesional, que ica en puede se r utilizado en cualquier campo de la ciencia y la cultura. Los contenidos de e ste manual se han dividido en siete unidade s cuyo s co ntenido s son: Sis tema de números Re ale s, Inecuacione s,Relaciones y Funciones, Lím ites y continuidad, Derivada s, Máximos y M ínim os de Fun cione s y Ecuación de la Rect a Tangente, Normal e Intersección de Curva s.

OBJETIVOS
Con el e studio de cu rso logrará s : •

Com prende r lo s con ceptos bá si co s y aplicar corre ctamente las propiedade s y técnicas opera tiva s del análisi s m atemático en re s olución de pro blemas.

• • • •

Utilizarcorrectamente las expre s iones simbólica s y su corre cta dem os ración en el Si stem a de Números Reales. t Utilizar con ceptos bá sico s y propiedade s de las Relacione s y Funcione s y su s gráfica s . Utilizar propiedade s de lím ites de una fun ción, su continuidad. Aplicar correctamente lo s concepto s y propiedades de derivad as, m étodos de solución de lím ites utilizando derivada s (L ’Ho spital), gráfica de u na función y su s punt o s de inflexión.

•

Utilizar las ecua cione s de recta s para dete rminar una re cta normal m ediante el concepto de de rivada s.

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PRIMERA UNID AD D IDÁCTIC A

SISTEMA D E NÚMEROS REALES
1. Introducci ón.Desde el comienzo de nues ra civilización, ya se conocí an los núm ero s ente ros positivo s, t o s a el 1, 2,3…Los núm ero s entero s t an gran des com o 100 000 s utilizaban en Egipto e e en época s temprana s, com o es 300 a. C. La aritm ética que desarrollan los antiguo s Egipcios y Babilonios con los núm ero s en tero s positivo s m ediante los cuales podían efectua rse la s opera ciones de adición y m ultiplicación, aunque la divi sión no se de sa rrolló por completo. Los que tuviero n más éxito en eldesarrollo de la aritm ética y el álgebra fueron lo s

babilonios ello s tenían una notación para lo s número s, m uy supe rior al de los Egipcio s, , e sta nota ción, análoga a nu est ro si stema decimal, excepto por el hech o de que su ba se e s 60 en lugar de 1 0, una buena nota ción e s el pre-requi sito pa ra el desa rrollo de los m atemáticos. En cont radicción de la geom etría que desarrollaron los Griegos solamente para su sati sfacción intelectual y en su modelo del si stem a lógico, con el de s rrollo del cálculo, lo s a núm ero s irracionales tales como 3 , π 3 7 , tuvieron que su s ntarse te sobre u na

fundamentación lógica, esto se logró en la últim a parte del siglo XIX. Ahora te nem os un si stema de a xiomas, q ue describen completamente los núm ero s reale s partiendo de esto s axiomas podem os d educir toda s la s propiedade s de los núm ero s reale s.

2.

Defi nición. Llam aremos s stem a de los números reales a un conjunto R, provi sto de dos ope ra cione s i adición (+) y m ultiplicación (.) (Le ye s de composición interna ), y una relación de o rden denotado po r “= {x ∈ R / a ≤ x < b}
d) Intervalo abierto en a y cerrado en b.-

< a , b ] = {x ∈R / a < x ≤ b}
e) Intervalo infinitos.-

[a ,+∞ >= {x ∈ R / x ≥ a} < a ,+∞ >= {x ∈ R / x > a} < −∞, b ] = {x ∈ R / x ≤ b} < −∞, b >= {x ∈ R / x < b}
Ejem plo: six ∈ [2 ,4] entonces 2 x + 3 , su intervalo e s…

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INECUACIONES DE SEGUNDO GRA DO EN UNA INCÓGNITA
Las inecuacione s de segundo grado en una incógnita son de la forma:

ax 2+bx+c > 0 ó ax2+bx+c< 0, a ≠ 0Donde a, b, c ∈ R, s iendo a ≠ 0

a)

Cará cte r de las raí ces del trinomio de segundo grado.

Con side rem os el trinom io de segundo grado ax2 +b x+c=0, con a >0

Nota :

si a x2+b x+c=0 entonces x=

−b ±

b 2 − 4 ac 2a

b)

Res oluci ón de una Inecuaci ón de se gundo gra do.

1

2x2 - x -10>0 De a cue rdo al cuad ro la solución e s :
2 x − x − 10 > 0 ⇒ ( x + 2 )( 2 x...