Matematicas triangulos

4
Página 103 Problema 1

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

REFLEXIONA Y RESUELVE

Para calcular la altura de un árbol, podemos seguir el procedimiento que utilizó Tales de Mileto para hallar la altura de una pirámide de Egipto: comparar su sombra con la de una vara vertical cuya longitud es conocida.
■

Hazlo tú siguiendo este método y sabiendo que: — la vara mide 124 cm, — la sombra de la varamide 37 cm, — la sombra del árbol mide 258 cm. Para solucionar este problema habrás utilizado la semejanza de dos triángulos. 124 37 = x 258 x 124 cm 37 cm 258 cm x= 258 · 124 = 864,65 cm 37

La altura del árbol es de 864,65 cm.

Problema 2
Bernardo conoce la distancia AB a la que está del árbol y los ángulos CBA y ì BAC; y quiere calcular la distancia BC a la que está de Carmen. Datos: AB =63 m; CBA = 42o; BAC = 83o
■
ì ì ì

Para resolver el problema, primero realiza un dibujo a escala 1:1 000 (1 m 8 8 1 mm). Después, mide la longitud del segmento BC y, deshaciendo la escala, obtendrás la distancia a la que Bernardo está de Carmen. BC = 42 mm B

A 63 m
42° 83°

C

Unidad 4. Resolución de triángulos

1

Deshaciendo la escala: BC = 42 m

2

Unidad 4. Resolución detriángulos

UNIDAD

4

Problema 3
■

Análogamente puedes resolver este otro: Bernardo ve desde su casa el castillo y la abadía. Conoce las distancias a ambos lugares, pues ha hecho el camino a pie muchas veces; y quiere averiguar la distancia del castillo a la abadía. Para ello debe, previamente, medir el ánì gulo CBA . ì — — Datos: BC = 1 200 m; BA = 700 m; CBA = 108o.

■

Utilizaahora la escala 1:10 000 (100 m 8 1 cm). 100 m 8 1 cm 1 200 m 8 12 cm 700 m 8 7 cm — — CA = 14,7 cm ò CA = 1 470 m A

700 m 8 7 cm 108° B 1200 m 8 12 cm C

NOTA: El triángulo está construido al 50% de su tamaño.

Problema 4
■

Calcula, aplicando el teorema de Pitágoras: a) Los lados iguales de un triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa mide 1.

1 x

x

b) La altura de untriángulo equilátero de lado 1. Haz todos los cálculos manteniendo los radicales. Debes llegar a las siguientes soluciones: x=

1

y

√2
2

y=

√3
2
1 2

Unidad 4. Resolución de triángulos

3

a) 12 = x 2 + x 2 8 1 = 2x 2 8 x 2 = b) 12 = y 2 +

1 2

8 x=

1

√2

—

=

√2
2

(1) 2

2

8 y2 = 1 –
s

1 3 = 4 4

8 y=

√3
2

Página 104

t c

–0,92

1.Calcula tg a sabiendo que sen a = 0,39. Hazlo, también, con calculadora. cos a = √1 – (sen a)2 = √1 – 0,392 = 0,92 tg a = sen a = 0,42 cos a

Con calculadora: s ß 0,39 = t = {≠Ÿ¢“«∞«|£‘≠‘°} 2. Calcula cos a sabiendo que tg a = 1,28. Hazlo, también, con calculadora. s2 + c2 = 1 ° ¢ Resolviendo el sistema se obtiene s = 0,79 y c = 0,62. s/c = 1,28 £ Con calculadora: s t 1,28 = © = {≠Ÿ\‘∞\¢¢≠¢‘£|}Página 105
1. Sabiendo que el ángulo a está en el segundo cuadrante (90° < a < 180°) y sen a = 0,62, calcula cos a y tg a.

cos a = – √1 – 0,622 = –0,78
0,62 c t

tg a =

0,62 = –0,79 –0,78

2. Sabiendo que el ángulo a está en el tercer cuadrante (180° < a < 270°) y cos a = –0,83, calcula sen a y tg a.

sen a = – √1 – (0,83)2 = –0,56 tg a = –0,56 = 0,67 –0,83

4

Unidad 4.Resolución de triángulos

UNIDAD

4

t –0,83 s

Unidad 4. Resolución de triángulos

5

3. Sabiendo que el ángulo a está en el cuarto cuadrante (270° < a < 360°) y tg a = –0,92, calcula sen a y cos a. s/c = –0,92 ° ¢ El sistema tiene dos soluciones: s2 + c2 = 1 £ s = –0,68; c = 0,74 s = 0,68; c = –0,74 Teniendo en cuenta dónde está el ángulo, la solución es la primera: sen a = –0,68, cosa = 0,74 4. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla y amplíala para los ángulos 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330° y 360°.
0° 30°
— —

45°
—

60°
—

90° 120° 135° 150° 180°

sen cos tg

0 1 0

1/2 √2/2 √3/2 √3/2 √3/3

1 0 –

Ayúdate de la representación de los ángulos en una circunferencia goniométrica.
0° 30°
— —

45°
— —

60°
—

90° 120° 135°

150°...