Matematicas

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NUMEROS COMPLEJOS.

Un numero complejo Ƶ es una pareja ordenada (a , b) de números reales a y b sujeta a ciertas reglas y leyes. También se puede representar como la suma algebraica de la parte real y la parte imaginaria que forman un par ordenado.

a= Parte real ( Ƶ )

b= Parte imaginaria Im ( Ƶ )

Ejemplo: [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic] Forma EstandarRe ( Ƶ ) Im ( Ƶ )

[pic] Se identifica como el número real de X.

[pic] Se identifica como un número Imaginario Puro.

[pic] Se identifica como Unidad Imaginaria.

Ejemplos de Forma Estándar Ejemplos de Forma Polar

[pic] [pic]

[pic][pic]

[pic] [pic]

[pic] [pic]

[pic] [pic]

Representación Geométrica.

Cuando los números complejos están en correspondencia uno a uno con las partes del plano cartesiano, el plano se denomina plano complejo oplano Ƶ. Los ejes cordenados se llaman eje real y eje imaginario del plano Ƶ.

Sean Ƶ= x + iy = (x , y) , “x” es la proyección de Ƶ sobre las abcisas o eje real y “y” es la proyección de Ƶ sobre el eje de las ordenadas o eje imaginario Ƶ= (0 , 0) es el origen y para cada punto del plano Ƶ existe uno y solamente un numero complejo Ƶ y viceversa Ƶ= (0 , 0).

Sea Ƶ= x + iy = (x , y)

[pic][pic]

[pic]

[pic]

FORMA POLAR

[pic]

[pic] Obtenemos el factor común

[pic]

Construcción de la suma y la resta de los números complejos.

Los números complejos obedecen a la ley del paralelogramo para la adicion sea [pic] dos números complejos dados.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Realiza [pic]

Si
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Sustracción:Utilizando también la ley del paralelogramo: [pic]

Ejemplo: sea
[pic]

[pic]

Realizar [pic]

[pic]

[pic]

Hacer [pic] con grafica

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Hacer [pic] con grafica

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Conjugados y valores absolutos

El conjugado [pic] del numero complejo [pic]=x+[pic]y es el numero [pic]=x-[pic]y. El valorabsoluto o modulo completo de [pic]=x+[pic]y es el número real

[pic]

Multiplicación y división

Utilizando la forma polar de un número complejo puede darse interpretaciones geométricas sencillas a las operaciones de multiplicación o división

Para ángulos arbitrarios [pic] y [pic] tenemos:

([pic]) ([pic])= [pic])+[pic]

([pic]) ([pic])= [pic])+[pic]

([pic]) ([pic])= [pic])+[pic]Y gráficamente se observa que el producto de dos números complejos diferentes de cero se encuentra multiplicando sus longitudes y sumando sus elementos.

[pic]

Ejemplos:

1. [pic]

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

[pic]
[pic]
[pic] [pic]
[pic]
[pic] [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic])+[pic]=16(4)[pic])+[pic]

[pic]+[pic]
[pic]64(0+[pic]1)
[pic]

[pic]
Sea [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

= 2(3) cos (30°+15°)+i sen (30°+15°)

=6 (cos 45° + i sen 45°)

[pic]

Como esta en forma polar se pasa a estándar para sacar la grafica

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

[pic]
[pic]

[pic]=[pic]

[pic]
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]= cos (Ѳ1 –Ѳ2 ) + і sen (Ѳ1 – Ѳ2)

Z1 = 8+ і sen [pic] Z2= 2[pic] + і

r= [pic] r= [pic]

r = [pic] r = [pic]

r = [pic] r= [pic]

r = [pic] r = [pic]

r = [pic] r = 14

r = 16...
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