Matematicas

UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO GUIA 1
ANTIDERIVADAS OBJETIVO: Aprender el concepto de antiderivada e integral indefinida y resolver integrales usando las formulas básicas. Concepto: Dada una función, sabemos como hallar su derivada, este problema lo estudia el cálculo diferencial. Cuando se conoce la derivada de una función y se desea conocer la función original, se usa el cálculo integral.

Laantiderivada o primitiva de una funcion f(x)

es otra función F(x)+C donde C es una constante. Si al derivar F(x)+C nos da como respuesta f(x) Es decir F’(x) = f(x) A la funcion F(x) se le llama una antiderivada de la una funcion f(x).

Ejemplo ¿Qué se derivo para que la derivada sea f ' ( x ) = 4 ? Por el método de Ensayo y Error se puede ver que la funcion que se derivo es:

4x pero tambiénlas funciones F (x)=4x+5 F (x)=4x-2 F (x)=4x-12 F (x)=4x+15 F (x)=4x+8 F(x) = 4x+C
2

F1 (x)=

3

4

5

6

Es decir que la funcion cuya derivada es 4 es una familia de funciones en este caso lineales cuyos miembros todos tienen pendiente de +4 pero diferentes intersecciones con el eje y como vemos en las graficas para los diferentes valores de la constante C C =0 C=5 C=-2 C=12 C=15C=8

Se puede afirmar que la funcion F(x)=4x+C es la antiderivada de f(x)=4

2 EJEMPLO Hallar la antiderivada de f ( x) = 3x 2 La funcion que se derivó es F(x)= x 3 pero también

x +5 F (x)= x +9 F (x)= x -2 3 F (x)= x + 2 F(x)= x +C
F1 (x)=
2

3

3

3

3

3

4

3

Pues todas tienen pendientes 3x es decir se puede afirmar que la funcion F(x)= x3 +C es la antiderivada de f (x) = 3x con
2 2

diferentes intersecciones con el eje y como vemos en las graficas para los diferentes valores de la constante C C =5 C=9 C=-2 C=3/2

INTEGRALES INDEFINIDAS

INTEGRACION
Al proceso de hallar las antiderivadas se le llama integración y a la familia de funciones que se obtiene mediante este proceso se llama integrales indefinidas y se representa mediante los símbolos

∫o signo de la integral ,

dx indica la variable respecto a la cual se lleva el proceso de integración
los símbolos siguientes siempre van juntos y en el cuadro va la funcion f(x) que se debe integrar así:

∫

f ( x ) dx

donde f(x) es la derivada de la funcion desconocida llamada integrando y la respuesta es una familia de funciones así

∫

f ( x ) dx = F ( x ) + C
f ( x) = 4

Ala constante C se le llama constante de integración Por lo tanto en los 2 ejemplos anteriores la antiderivada de se escribe mediante una integral indefinida así:

∫ 4dx = 4 x + C
y la antiderivada de

f ( x) = 3 x 2 se escribe

3 x 2 dx = x 3 + c ∫

REGLAS BASICAS DE INTEGRACION
A continuación se presenta un conjunto de reglas para encontrar la integral indefinida de una funcion

1-INTEGRAL DE UNA FUNCION CONSTANTE F(x)=K donde k es un numero real

∫

kdx

= kx + C

EJEMPLOS

∫ − 9dx = −9 x + C 1 1 dx = x + C 2- ∫ 8 8 3- ∫ πdx = πx + C
1-

∫ 52dx = 52 x + C 5- ∫ m dx = m x + C
42- INTEGRAL DE UNA POTENCIA n

f ( x) = x
x
n

∫

dx

x n +1 = + C n + 1

con

n ≠ − 1

Cuando el integrando es x elevado a algún exponente real se aumenta el exponente dex en 1 ,se divide en el nuevo exponente y se suma la constante de integración EJEMPLOS 1-

∫ ∫
∫

2-

x5 x dx = +c 5 x −6 −7 x dx = +c −6
4

x dx =

3 2

3-

x +c 5 2

5 2

es decir después de efectuar el producto de
3 2 5 2

medios y extremos resulta así:
−7 3 −4 3

∫

x dx =

2x 5

+c

4-

∫

x

dx =

− 3x 4

+c

5

∫

x dx =

∫

2 2 x dx =x +c 3

1 2

3

cada vez que aparece una integral con radical, se vuelve a reescribir la integral con el radical en forma de potencia fraccionaria como en el último ejemplo Cuando la potencia esta en el denominador se reescribe subiendo la potencia con exponente negativo

∫
1-

1 dx n x

=

∫

x

− n

dx

EJEMPLOS

2-

x −8 1 −9 ∫ x 9 dx = ∫ x dx = − 8 + c 1 x −42 −...