Matematicas

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ANALISIS DE LA ECUACION DE SEGUNDO GRADO
Las secciones cónicas mencionadas hasta ahora, se refieren a curvas cuyas ecuaciones son casos particulares de la ecuación:
Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0(1)
Llamada: ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO.
Asi, por ejemplo, la ecuación de la circunferencia (sección 5) (x – h)2 + (y – k)2 = r2, se obtiene de la ecuación (1) haciendo A = B = 1; D =-2h; E = -2k y F = h2 + k2 – r2.
Igualmente, la parábola (sección 6.1.) de ecuación: (x – h)2 = 4p (y – k), se obtiene de la ecuación (1) haciendo: A = 1, B = 0, D = -2h,E= -4p y F = h2 + 4pk.Incluso, la linea recta aparece como un caso especial de la ecuación (1) haciendo
A = B = 0.
Los términos Ax2y By2 de la ecuación (1) son de segundo grado o términos cuadráticos.Lanaturaleza de lacurva determinada por la ecuación (1), cuando contiene al menos uno de estos términos, está expresada en el siguiente teorema.
TEOREMA (Análisis de la Ecuación de Segundo Grado).
La ecuación:Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 (2)
Donde A, B, D, E y F son constantes reales, Ay B no simultáneamente nulos, representa:
Una circunferencia. Si A = B (diferentes de 0). (En casos especialespuede reducirse a un punto, o incluso carecer de puntos reales).
Una parábola. Si A . B = 0. (Recordar que si A .B = 0, implica que A = 0 ó B = 0). Esto significa que la ecuación (2) esde segundo grado respecto a una de las variables y lineal con respecto a la otra.
Una elipse. Si A . B > 0. (Recordar que si A .B > 0, entonces A y B tienen el mismo signo). En casosespeciales, el lugar se reduce a un solo punto, o incluso, el lugar carece en absoluto de puntos reales.
Una hipérbola. Si A .B < 0. (Esto implica que A y B tienen signos opuestos). Encasos especiales, el lugar puede reducirse a un par de rectas secantes, como sucede por ejemplo con la ecuación
x2 – y2 = 0.
Observación.
El recíproco del teorema es igualmente...
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