Matematicas

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Apuntes de Análisis Matemático I

María D. Acosta Camilo Aparicio Antonio Moreno Armando R. Villena

II

Índice general
I Continuidad
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .

3
5 5 12 14 15 16 17 19 21 22 25 35 39 49 54 54 57 58 59 60 61 62 69 77 87

1. Introducción al Análisis de una variable. 1.1. Resultados fundamentales en R. . . . . 1.2. Numerabilidad. . . . . . . . . . . . . . 1.3. Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Referencias recomendadas. . . . . . . . 1.5. Resumen de resultados del Tema 1. . . 1.6. Ejercicios delTema 1. . . . . . . . . . 1.7. Soluciones a los ejercicios del Tema 1. 2.

Campos escalares y vectoriales continuos. Límite funcional. 2.1. Normas y distancias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Topología de un espacio métrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Compactos, convexos y conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Funciones continuas. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Límite funcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Apéndice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. A) Teorema de Heine-Borel-Lebesque. . . . . . . . . . . . . . 2.6.2. B) Desigualdad entre la media geométrica y aritmética. . . . . 2.6.3. C) Demostración de la caracterización de lacontinuidad global. 2.6.4. D) Otra demostración del Teorema de Heine. . . . . . . . . . . 2.6.5. E) Fórmula para el argumento de un número complejo. . . . . 2.7. Referencias recomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Resumen de resultados del Tema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Ejercicios del Tema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.Soluciones a los ejercicios del Tema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11. Breve biografía de los matemáticos mencionados en los temas 1 y 2 . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

II

Derivación
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91
93 95 102 107 112

3. Campos escalares y vectorialesderivables. Reglas de derivación. 3.1. El espacio de Banach L (RN , RM ). . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Concepto de derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Campos escalares derivables. Vector gradiente. . . . . . . . . 3.4. Campos vectoriales derivables. Matriz jacobiana. . . . . . . .
III

IV

ÍNDICE GENERAL 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11. 3.12. 3.13. Reglas dederivación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpretación geométrica del concepto de derivada. Hiperplano tangente. Apéndice A) Desigualdad de Cauchy-Schwarz. . . . . . . . . . . . . . . Apéndice B) Normas duales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apéndice C) Hiperplanos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referencias recomendadas. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . Resumen del resultados del Tema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios del Tema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluciones a los ejercicios del Tema 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 122 125 126 127 129 130 135 141

4.

Teorema del valor medio. Teoremas del punto fijo deBanach y de Schauder. 155 Teorema de Picard-Lindelöf. 4.1. Teorema del valor medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.2. Teoremas del punto fijo de Banach y de Schauder. . . . . . . . . . . . . . 162 4.3. Teorema de Picard-Lindelöf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.4. Referencias recomendadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
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