Matemática

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matem´tica a

Tesis de Licenciatura

Algoritmos de factorizaci´n de polinomios o multivariados y nuevas estimaciones sobre los ceros de un polinomio sobre un cuerpo finito

Melina L. Privitelli

Director: Dr. Antonio A. Cafure

Marzo 2009

A la memoria de Antonio Arcuri.

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AgradecimientosQuiero darle las gracias a cada una de las personas que me ayudaron a alcanzar esta meta: A mi mam´ Elena, a mi pap´ Jos´, a mis t´ y primos por acompa˜arme siempre y a a e ıos n apoyarme en los momentos m´s dif´ a ıciles. A mi querido t´ Antonio, que seguramente debe ıo estar muy feliz por mi. A Nino, mi amigo y director, por confiar en m´ por su ayuda incondicional, por ı, alentarme en los peoresmomentos, porque gracias a su esfuerzo pude entender y aprender estos temas, por su paciencia, y sobre todo por darme la oportunidad de hacer mi tesina en un tema que me encanta. A Guillermo Matera, por sus sugerencias para la presentaci´n, y por haber escuchado o m´s de una vez el algoritmo de factorizaci´n. a o A los jurados, Pablo Solern´ y Gabriela Jer´nimo, por tomarse el trabajo de leer mi o otesina con todo detalle y porque sus comentarios y correcciones fueron muy utiles para ´ poder mejorar la versi´n final de este trabajo. o A Gabriel Minian, por la buena predisposici´n que siempre tuvo hacia mi persona, y o por ayudarme con los tr´mites para la presentaci´n de mi tesina. a o A Marita, por esas largas charlas volviendo de Merlo, y porque sus palabras siempre fueron de mucha ayuda. Amis amigos: Patri, Mar´ Marta, Mariana, Mercedes, Ezequiel, Ale, Gerardo, Guillerıa mo, Nelson, Eugenia y Lucas, porque hicieron m´s sencillos todos estos a˜os. a n A Betty, mi suegra, por aguantarme los fines de semana estudiando en su casa. A Nicol´s, mi novio y una de las personas m´s lindas que conoc´ siento que no me va a a ı, a alcanzar la vida para darle las gracias. Sin lugar a dudas es elprincipal responsable de que yo haya llegado hasta ac´. Gracias por quererme como soy y no intentar cambiarme, a por apoyarme y acompa˜arme en todas mis decisiones, por haber hecho que todo tenga n sentido y por haberme convertido en una persona feliz.

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´ Indice general
Introducci´n o 1 Variedades algebraicas y polinomios absolutamente irreducibles 1.1 Preliminares de Geometr´ Algebraica. . . . . . . . . . . . . . . . . ıa 1.1.1 Dimensi´n y Grado de una variedad . . . . . . . . . . . . . . o 1.2 Polinomios absolutamente irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Levantamiento de Hensel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Algoritmos de factorizaci´n y una versi´n del Teorema o o 2.1 Algoritmo de factorizaci´n para polinomios bivariados . . o 2.1.1Recombinaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.2 Generalizaci´n a polinomios multivariados . . . . . . . . . o 2.2.1 Reducci´n a dos variables . . . . . . . . . . . . . . o 2.3 Teorema de Bertini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . . . 5 8 . 8 . 9 . 11 . 15 18 18 28 33 33 36

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Bertini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .

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3 Estimaci´n sobre la cantidad de ceros q-racionales de un polinomio o absolutamente irreducible 42 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1 N´mero promedio de ceros en Fq u 3.2 Estimaci´n sobre los ceros q-racionales de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 o 4 Aplicaciones a la Teor´ de C´digos ıa o 4.1 Generalidades sobre C´digos . .. . . . . . . . . . . . . o 4.1.1 Problema de decodificaci´n en Reed-Solomon . o 4.2 Reducci´n a una Hipersuperficie . . . . . . . . . . . . o 4.2.1 Absoluta Irreducibilidad de Cf0 ,...,fd . . . . . . 4.3 Aplicaci´n de las estimaciones al problema de c´digos o o Bibliograf´ ıa 56 56 59 61 61 66 68

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