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Tema 1. Números reales. Funciones reales. Bloque 1: Análisis

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Números Reales. Funciones Reales.

TIPOS DE NÚMEROS. .............................................................................................................................1 ORDEN E INTERVALOS.........................................................................................................................1 ENTORNOS DEUN PUNTO. ..................................................................................................................2 CONJUNTOS ACOTADOS EN LA RECTA REAL..............................................................................3 FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN.............................3 FUNCIONES SIMÉTRICAS YPERIÓDICAS.......................................................................................4 FUNCIONES ACOTADAS.EXTREMOS ABSOLUTOS. .....................................................................4 MONOTONÍA. ...........................................................................................................................................4 EXTREMOSRELATIVOS.......................................................................................................................5 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES..........................................................................................................5 FUNCIÓN INVERSA. ...............................................................................................................................5

Tipos de números.
N Z Q Números naturales. Números enteros.N={1,2,3,4…….} Z={….-3,-2,-1,0,1,2,3,….} x+a=b a Números racionales. Q={ / a∈Z; b∈Z y b<>0} b Q={decimales exactos ∪ periódicos puros ∪ periódicos mixtos ∪ Z}
I={números que ni son exactos ni periódicos, p.e.

I

Números irracionales

2 , π ,...

R Números reales.

R={Q ∪ I}

Orden e intervalos.
Def.orden a ≤ b ⇔ b − a ∈ ℜ + Propiedades: Reflexiva ∀a ∈ R ⇒ a ≤ a Antisimétrica ∀a, b ∈ R; a ≤ b y b ≤ a ⇒a = b Transitiva ∀a, b, c ∈ R; a ≤ b y b ≤ c ⇒ a ≤ c
Matemáticas II. C.E.Santísima Trinidad. Página 1

Tema 1. Números reales. Funciones reales. Bloque 1: Análisis

Orden total ∀a, b ∈ R; a ≤ b o b ≤ a Orden compatible con la suma ∀a, b, c ∈ R; a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c Orden compatible con el producto ∀a, b y c ∈ R + ; a ≤ b ⇒ a ⋅ c ≤ b ⋅ c ∀a, b y c ∈ R − ; a ≤ b ⇒ a ⋅ c ≥ b ⋅ c Def. intervalos:Intervalo abierto (a, b) = {x ∈ R / a < x < b} Intervalo cerrado [a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} Intervalo semiabierto o semicerrado [a, b ) = {x ∈ R / a ≤ x < b} (a, b] = {x ∈ R / a < x ≤ b}
Def. Valor Absoluto
 a si a ≥ 0  | a |=  − a si a < 0 

Propiedades | x |≤ a  1. −a ≤ x ≤ a ⇒ a>0  2. | a |= 0 ⇔ a = 0 3. | a + b |≤| a | + | b | a ≥ 0 y b ≥ 0  4. | a + b |=| a | + | b |⇔  a ≤ 0 y b≤ 0  5. | a ⋅ b |=| a | ⋅ | b | 6. | a − b |≤| a | + | b |
a ≥ b  7. | a − b |=| a | − | b |⇔  a ≤ 0  y b≥0 y | a |≥| b | y b≤0

8. | a − b |≥| a | − | b |

Entornos de un punto.
Entorno simétrico E(a,r)=(a-r,a+r)={x∈R, a-r
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Tema 1. Números reales. Funciones reales. Bloque 1: AnálisisE*(a,r)=E(a,r)-{a}=(a-r,a+r)-{a} Entorno laterales E+(a,r)=(a,a+r) E-(a,r)=(a-r,a) Entorno cerrado de +∞ [r,+ ∞) Entorno abierto de +∞ (r,+ ∞) Entorno cerrado de -∞ (-∞,-r] Entorno abierto de -∞ (-∞,-r)

Conjuntos acotados en la recta real.
E está acotado superiormente por k ⇔∀x∈E x≤k Un conjunto acotado superiormente tiene infinitas cotas superiores, a la menor de todas ellas se le llama extremo superioro supremo de E. Si el supremo pertenece a E, se le llama máximo de E y se denota por max(E). E está acotado inferiormente por p ⇔∀x∈E x≥p Un conjunto acotado inferiormente tiene infinitas cotas inferiores, a la mayor de todas ellas se le llama extremo inferior o ínfimo de E. Si el ínfimo pertenece a E, se le llama mínimo de E y se denota por min(E). E está acotado si lo está superiormente e...

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