Mates

ANÀLISI MATEMÀTICA

1. a) Trobeu els extrems relatius de la funció polinòmica

f (x ) = x3 – 3/2 x2 – 6x – 3

i calculeu els valors de f(x) en aquests punts. A partir d'aquestes dades, feu un dibuix aproximat de la seva gràfica.

b) Demostreu que l'equació x3 – 3/2 x2 – 6x – 3 = 0 té exactament, tres solucions reals.

2.- Calculeu per integració la superfície del recinte delimitatper les corbes y = x 2 i la recta d'equació y – x – 6 = 0 representat en el dibuix següent:

3.- El costat desigual d'un triangle isòsceles mesura 12 m, i l'altura sobre aquest costat és de 5 m.

a) Donat un punt arbitrari sobre aquesta altura, obtingueu una expressió de la suma de les distàncies d'aquest punt a cada un dels vèrtexs del triangle.
b) Determineu els punts sobre l'altura quecompleixen que la suma de les distàncies als tres vèrtexs del triangle sigui màxima i els punts per als quals sigui mínima.

4.- Calculeu els valors de a tals que les tangents a la gràfica de la funció f(x) = ax3 + 2x2 + 3 en els punts d'abscisses x = 1 i x = –1 siguin perpendiculars entre si.

5.- Calculeu l'àrea que té l'únic recinte tancat limitat per les gràfiques de les funcions y = – x2 + 7i y=6/x representat en el dibuix següent:

6.- Un terreny té forma de triangle rectangle, els catets mesuren AB = 60 m i AC = 45 m. En aquest terreny es pot construir una casa de planta rectangular com indica la part ombrejada de la figura següent:

Voleu vendre aquest terreny i us paguen 5.000 pessetes per cada metre quadrat no edificable i 25.000 pessetes per cada metre quadrat edificable.a) Determineu la relació que hi ha entre l'amplada x i la profunditat y del rectangle que determina la part edificable.
b) Determineu l'expressió que dóna el valor del terreny en funció de l'amplada x del rectangle edificable.
c) Quines són les dimensions de la part edificable que ens permeten obtenir un valor màxim per a aquest terreny?
d) Quin és aquest valor màxim?

7.- El polinomip(x) = x2 + ax + b s'anul·la per a x = 2 i compleix
Calculeu raonadament a i b.

8.- Determineu els punts de la gràfica de f(x) = x4 + 5x on la recta tangent és paral·lela a la bisectriu del primer quadrant. Calculeu l'equació d'aquestes rectes tangents.

9.- Considereu les funcions f(x) = sin(x) i g(x) = cos(x). Calculeu la superfície del recinte delimitat superiorment per les gràfiquesd'aquestes funcions, inferiorment per l'eix d'abscisses i lateralment per les rectes verticals x = 0 i x= π/3 representat en l'esquema següent:

10. Considereu la funció

a) Determineu les seves asímptotes.
b) Calculeu els intervals on creix i on decreix, i els extrems relatius.
c) D'acord amb els resultats que heu obtingut, dibuixeu aproximadament la
seva gràfica.
d) Fixant-vos en lagràfica anterior, expliqueu quina seria la gràfica de la funció g(x) = –f(x) + 3

11.- Calculeu el valor positiu de a que fa que l'àrea compresa entre la recta d'equació y = ax + 2a i la paràbola y = ax2 valgui 18.

12.- Se sap que la derivada d'una funció f(x) és:

Calculeu les abscisses dels punts on la funció f(x) té els seus extrems relatius, especificant per a cada un dels valors queobtingueu si es tracta d'un màxim o d'un mínim relatiu.
13.- Sigui f (x)=x2 · e–ax quan a≠0.
a) Calculeu el valor de a perquè aquesta funció tingui un extrem relatiu en el punt d’abscissa x=2.
b) Quan a=2, classifiqueu-ne els extrems relatius.

14.- La gràfica corresponent a la derivada d’una funció f(x) és la següent:

a) Expliqueu raonadament quins valors de x corresponen a màxims o a mínimsrelatius de f(x).
b) Determineu els intervals de creixement i decreixement de la funció f(x).

15.- Dins d’un triangle rectangle, de catets 3 i 4 cm, hi ha un rectangle. Dos costats del
rectangle estan situats en els catets del triangle i un dels vèrtexs del rectangle és a la
hipotenusa del triangle.
a) Feu un esbós de la situació descrita.
b) Si x és la longitud del costat del...