Mates

MATEMÁTICAS EMPRESARIALES I
Sumatorios

1) Calcular
M
150
19
X
X
X
a)
n; b)
n; c)
(2n
n=m

n=6
M
X

Solución: a)

n=3

n=

1
2

(M

12
20
X 3
X2
, e)
3), d)
3n
2n
n=5
150
X

n=7

m + 1) (M + m), b)

n=m

20
X2
c) 323 , d)
=
3n

1

f) :

n = 11310,

n=6

1
36

n=7

12
X 3
1
, e)
320
2n

1

=6

1
24

1
212

:n=5

2) Se dice una sucesión de números an están en progresión aritmética de
constante d si an+1 = an + d para todo n 0.
a) Calcular la expresión de an en función de d y del primer término a0 .
M
X
b) Calular
an en función de d y a0 .
n=0

Solución: a) an = a0 + nd. b)

M
X

an = (M + 1)a0 + d M (M +1)
2

n=0

3) a) Si S(r) =

M
X

rn , con r > 0, usar la fórmula de la sumade la

n=0

progresión geométrica para calcular su derivada S 0 (r):
b) Usando el resultado del apartado a) calcular la suma de la progresión
M
X
nrn (esta progresión se denomina aritmético-geométrica).

n=0

c) Determinar los valores de r para los que la serie

1
X

nrn es convergente

n=0

o divergente, y cuando sea convergente calcular su suma.
M
X
M
M
+1))+1
+1))+1Solución: a) S 0 (r) = r (M r (M2
, b)
nrn = rS 0 (r) = r r (M r (M2
.
(r 1)
(r 1)
n=0

c) Divergente si r

1 y convergente si r < 1, y en este caso

1
X

nrn =

r
:
(r 1)2

n=0

4) Calcular las derivadas respecto de a y b de la función f (a; b) =
N
N
N
X
X
X
(axi + b)2 , sabiendo que
xi = 13, y que
x2 = 21:
i
i=1

i=1

Solución:

@f
@a

= 42a + 26b,i=1

@f
@b

= 26a + 2bN:

1

Series numéricas
1) Estudiar el caracter de las siguientes series
1
X

3n + 2
p
a)
2n5 + 3n
n=1
e)

i)

1
X

n=1
1
X

1
X

x)

32n 41

n

n=1
1
X

n=1

t)

1
n+2

2n 2
p
n + 3n3 + 3
n=0

m)

p)

1
n

n + 2n
3n+2

1

1
X

b)

f)

j)

n)

n
2+n+1
n

n=1
1
X en

n=1
1
X

q)

nnn 2
p
3
2
n=1 (n + 2) 3n + 1=n

n=1
1
X

n=1

5
5n + 1

n

k)

Ln
n

ñ)
3

5n

u)

y)

c)

g)

n2

n=1
1
X

1
X 3(n + 1)n

n=1
1
X

p

1
X

n=1
1
X

n=0

r)

3n

2
5

1
X en+1

n=1
1
X

n=1
1
X

n=1
1
X

n=1
1
X

nn

1
n1+1=n
n
22n+1
1
nn+1
1

n n2

n=1

n2

4n + 3
(n + 1)!

v)

z)

n=01
X

3
n 2n2 + 1
n=1

n2

n2
3n + n

p

1
X n! + 1
h)
(n + 1)!
n=1
1
X n2

l)

o)

s)

n=1
1
X

+2
n!

(n + 2)!
n!10n

n=1
1
X n5

n=1

1
X Ln

n=1
1
X

d)

w)

+ 3n3
n + 2n

1
X

1

(Ln) n

n=1

Solución: a) convergente b) convergente c) convergente d) convergente
e) convergente f) divergente g) convergente h) divergente i)divergente j)
convergente k) convergente l) convergente m) divergente n) divergente ñ)
convergente o) convergente p) convergente q) convergente r) divergente s)
divergente t) divergente u) convergente v) convergente w) divergente x) divergente y) convergente z) convergente

2

2) Contestar razonadamente a las siguientes cuestiones
P
P
a) De dos series de términos positivos 1 an y 1 bnsabemos que la
n=1
n=1
P1
an
serie n=1 an es convergente y que lim
= 5. ¿Cuanto vale lim bn ?
n!1 bn
n!1
Pk
P1
an
b) De una serie n=1 an sabemos que es convergente. Calcular lim n=1 :
k!1
k
1
c) De una sucesión sabemos que 0 < an < . Determinar el caracter de
n
P
P
la serie 1 (an )2 . ¿Es posible determinar el caracter de la serie 1 an ?
n=1
n=1
P1
d) De una serie de términospositivos
n=1 an sabemos que es
convergente. Determinar el carácter de las siguientes series:
P
P
1
d1 ) 1
,
d2 ) 1 (an )2 .
n=1
n=1
an
e)P una sucesión bn sabemos que bn < n. Estudiar el carácter de la
De
serie 1 2bn .
n=1
P
P
f) Si 1 an y 1 bn son series de términos positivos convergentes,
n=1
n=1
P
determinar el carácter de la serie 1 an bn :
n=1
g) De una sucesión cn...