Mates

TEMA 1 MATRICES
Definición: Una matriz A de orden m x n es un conjunto de números reales ordenados en “m” filas y “n” columnas. Ejemplo: PRIMER TRIMESTRE 20 15 5 SEGUNDO TRIMESTRE 15 14 1 TERCER TRIMESTRE 22 18 4 CUARTO TRIMESTRE 19 16 3

INGRESOS COSTOS BENEFICIOS

A=

(

)

Tamaño o dimensión de A = 3 FILAS (HORIZONTAL) X 4 COLUMNAS (VERTICAL) dim A = 3 X 4 A cada elemento de unamatriz A se le denota aij, que indica que es el elemento que está en la fila “i” y en la columna “j”. Ejemplo: aij , donde i es el subíndice de la fila, y j el subíndice de la columna. a31 = 5 a23=18 a11 = 20

Decimos que una matriz A de orden m x n es cuadrada si m es igual a n, es decir, si la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas. Ejemplo: B=( )

La matriz B tiene 3 filas y 3columnas, m = n y por tanto es una matriz cuadrada. C=( )

La matriz C tiene 2 filas y 3 columnas por tanto no es cuadrada, sino rectangular.

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Se llaman matrices rectangulares a todas aquellas matrices que no son cuadradas. Llamamos Mmxn al conjunto de las matrices de orden m x n. Si la matriz A es de orden m x n se denota A ∈ Mmxn. Llamamos Mn al conjunto de las matrices cuadradas deorden n x n. Mn = Mnxn Si A es una matriz cuadrada de orden n se denota A ∈ Mn.

D=(

) ∈ M2

E=(

) ∈ M4x1

SIMBOLOGÍA:

∈ significa PERTENECE
Una matriz triangular es un tipo especial de matriz cuadrada. Se llama diagonal principal de una matriz cuadrada al conjunto de elementos de la matriz que tienen los dos subíndices iguales. Una matriz cuadrada es triangular superior si loselementos por debajo de su diagonal principal son igual a 0. Ejemplo: ( ) aij = 0 si i > j

Una matriz cuadrada es triangular inferior si los elementos por encima de su diagonal principal son igual a 0. Ejemplo: ( ) aij = 0 si i < j

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que los elementos son todos cero salvo en la diagonal principal, y éstos pueden ser nulos o no. Ejemplo:

aij = 0 sii ≠ j ( )
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Se dice que una matriz cuadrada A es escalar si aij = 0 si i ≠ j y si aii = k constante, es decir, una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. Ejemplo: ( )

La matriz identidad es una matriz que cumple la propiedad de ser el elemento neutro del producto de matrices. Esto quiere decir que el producto de cualquier matrizA por la matriz identidad (donde dicho producto esté definido) da la misma matriz A. Como el producto de matrices sólo tiene sentido si sus dimensiones son compatibles, existen infinitas matrices identidad dependiendo de las dimensiones. , la matriz identidad de tamaño , se define como la matriz diagonal que tiene valor 1 en los elementos de la diagonal principal, y 0 en el resto.

Ejemplos:I5 = ( )

I2 = (

)

I3 =(

)

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SUMA DE MATRICES
Sean A y B ∈ Mmxn Si definimos, C = A + B entonces C ∈ Mmxn Tal que cij = aij + bij Para realizar una suma de matrices ambas matrices deben ser del mismo tamaño y se suma elemento a elemento. Ejemplo: ( ) +( )=

=(

)=

=(

)

Propiedades Dadas las matrices A, B y C ∈ Mm×n Asociativa (A + B) + C = A + (B + C) ConmutativaA+B=B+A Existencia de matriz cero o matriz nula Se llama matriz nula de orden m x n a la matriz cuyos elementos son todos cero y se denota 0m×n A + 0 m×n = 0 m×n + A = A Existencia de matriz opuesta -A = [-aij] A + (-A) = 0 m×n

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PRODUCTO DE MATRÍZ POR NÚMERO REAL
Sea A ∈ Mmxn y sea K ∈ R (Sea A una matriz y K un nº Real) D = K· A D ∈ Mmxn dij= K·aij

Para realizar un producto de unamatriz por un número real se multiplica dicho número real por cada elemento de la matriz. Ejemplo: Sea A = ( Calcular 5·A 5·A=5( )=( )=( ) )

Propiedades

Sea A ∈ Mmxn y sean α y β ∈ R Asociativa: (α· β)·A = α·(β·A) Conmutativa: (α· β)·A = (β·α)·A Elemento Neutro: 1·A = A Distributivas: α·(A+B) = α·A+α·B (α+β)·A = α·A + β·A

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PRODUCTO DE MATRICES
Para poder multiplicar dos matrices el...