Mates

UNIDADE 1.2: DERIVADA DUNHA FUNCIÓN
1.2.1. TAXA DE VARIACIÓN MEDIA Definimos   a  taxa   de   variación   media  dunha   función   f(x)   no   intervalo   [x1,x2]   como   o  cociente entre o incremento do valor da función e o incremento de x, é dicir,  f  x 2 −f  x 1  TVM[ x x ] = x 2−x 1
1, 2

A   taxa  de   variación   media   é   unha   medida   da   variación   media   da   función  no   intervalo.  Tamén se lle chama cociente incremental. Graficamente, esta taxa de variación media é a pendente da recta  secante  á gráfica da  función que pasa polos puntos (x1,f(x1)) e (x2,f(x2)) (recordemos que a pendente dunha recta é a  tanxente do ángulo que forma a recta co semieixo positivo de abcisas).Outra forma de escribir esta definición é considerar a taxa de variación media no intervalo  [x0,x0+h], co cal teriamos: f  x0h −f  x0  TVM[ x x h] = h
0, 0

Graficamente,          

Cun exemplo: O espazo percorrido por un móbil, en metros, ven dado pola función s= 5t2  (t en  segundos). Cal é a velocidade media do móbil entre os instantes t=1 e t=4? 2 2 5 ∙4 −5 ∙1 VM[ 1, 4] = =25 m/s 4−1 Esta velocidade media non é máis que a taxa de variación media da función do espazo. Pero pode interesarnos calcular a velocidade nun instante concreto, por exemplo para t=2. Unha  forma de facer isto sería ir calculando velocidades medias en intervalos [2, 2+h] con h cada vez  máis pequeno, é dicir, cada vez máis próximo a 0.  E isto non é máis que calcular un límite. 2 2 5 ∙2h −5 ∙ 2 V  2  =lim =20 m/ s h h 0 Deste xeito, teremos: 1.2.2. DERIVADA DUNHA FUNCIÓN NUN PUNTOConcepto de derivada dunha función nun punto.  A derivada dunha función f(x) nun punto x0 do seu dominio é o límite: Ou o que é o mesmo, f '  x 0 =lim f '  x 0 = lim f  x −f  x0  x−x 0
x x 0

f  x 0h  −f  x0  h

h 0

•

A derivada vai ser polo tanto o límite das taxas de variación media cando facemos que o  intervalo   se   aproxime   a   un   punto.   É,   xa   que   logo,   a   taxa   de  variación   instantánea   da  1.2.1

• •

función f(x). Cando unha función ten derivada nun punto, dicimos que é  derivable nese punto. Se é  derivable en todos os puntos dun intervalo (a,b), dicimos que é derivable no intervalo. Ao igual que faciamos nos límites, podemos estudar tamén a derivabilidade con límites laterais (o que será necesario, por exemplo, en función definidas a “cachos”): f  x  −f  x 0  f  x0h −f  x0  − f '  x 0 = lim = lim x−x0 h x x h 0 f  x −f  x 0  f  x 0h −f  x0   f 'x 0 = lim = lim x−x0 h x x h 0
− − 0   0

• •

Se os límites coinciden (se as derivadas laterais coinciden), a función é derivable en x0. As   función   elementais   (polinómicas,   racionais,   trigonométricas,   exponenciais, logarítmicas...) son en xeral derivables nos seus dominios. df x  ou Df x 0 para a derivada. Outras notacións: podemos escribir  f 'x 0 ou dx 0

Interpretación xeométrica. Recta tanxente a unha función nun punto. A  recta  tanxente  á  gráfica  de  f(x)   nun  punto (x 0,f(x0))   é a  recta  que  corta  á  gráfica  da  función só nese punto: Para calcular a ecuación punto­pendente desa recta: y−f  x 0 =m  x−x0 precisamos  un punto que xa temos, (x0,f(x0)), e a pendente. Para  calcular   esta   última,   o   que   podemos   facer   é   coller   unha   recta  secante,  que  corte á gráfica de  f(x)  no punto (x 0,f(x0))  e  noutro  próximo (x0+h, f(x0+h)). Xa dixemos antes que a taxa de variación  media dáme a pendente desa recta secante: f  x0 h −f  x 0  msec = hAo ir collendo puntos cada vez máis próximos a x0, a secante vaise aproximando á tanxente. No  límite,   a   secante   “transfórmase”   na   tanxente,   co   cal   o   límite   desas   pendentes   vaime   dar   a  pendente da recta tanxente no punto. mtanx =lim f  x 0h −f  x 0  h
h 0

=f '  x 0 

Polo  tanto,   a  derivada   dunha   función   nun  punto  é   a  pendente  da   recta  tanxente  á ...