Matrices

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC

MATEMÁTICAS V (ECUACIONES DIFERENCIALES)
ACTIVIDADES PARA EL PORTAFOLIO

UNIDAD I ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

A) CUESTIONARIO.

1. Elija dos áreas del conocimiento (por ejemplo, biología, física, economía, psicología, etc.) y para cada una analice una situación donde se apliquen ecuaciones diferenciales para resolver un problema.2. Compare las distintas clases de soluciones de una ecuación diferencial (explícitas, implícitas, gráficas y numéricas) ¿Cuáles son las ventajas y desventajas de cada una?
3. Escriba un resumen sobre los diferentes casos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y sus métodos de solución.
4. Describa el método de aproximación de Euler y el método de Picard para resolver problemasde valor inicial de EDO de primer orden (incluya dos ejemplos).
5. ¿Qué propiedades tienen las soluciones de ecuaciones lineales que no sean compartidas por las soluciones de ecuaciones separables o exactas? Dé algunos ejemplos específicos que apoyen sus conclusiones.
6. Escriba un ensayo (máximo 2 cuartillas) sobre el origen de las ecuaciones diferenciales.
7. Escriba un ensayo (máximo 2cuartillas) sobre las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

B) PROBLEMAS.

1. Dos pilotos de autos de carreras parten desde el reposo y luego aceleran a una razón constante. Uno de ellos cubre la última tercera parte de la distancia en 4 segundos, mientras que el otro cubre la última cuarta parte de la distancia en 3 segundos. ¿Quién gana y por cuánto tiempo?
2.Considere la siguiente ecuación diferencial: [pic]
(a) ¿Implica el teorema de existencia y unicidad la existencia de una solución única que satisfaga [pic]?
(b) Muestre que cuando [pic]la ecuación diferencial dada no podría tener una solución en una vecindad de [pic]que satisfaga [pic].
(c) Muestre que hay dos soluciones distintas de la ecuación diferencial dada que satisfacen [pic].
3. Enlos siguientes problemas trace las isóclinas con sus marcadores de dirección y bosqueje cuatro curvas solución, incluyendo la curva que satisface las condiciones iniciales dadas.
(a) [pic]
(b) [pic]
4. Para las siguientes ecuaciones diferenciales autónomas (a) bosqueje la línea fase, (b) identifique las soluciones de equilibrio y (c) clasifique los puntos de equilibrio como pozos, fuentes onodos.
(a) [pic]
(b) [pic]
5. Para las siguientes ecuaciones diferenciales utilice la recta fase para predecir el comportamiento asintótico de la solución que satisface la condición inicial dada.
(a) [pic]
(b) [pic]
6. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
(a) [pic]
(b) [pic]
(c) [pic]
(d) [pic]
(e) [pic]
(f) [pic]
(g) [pic]
7. Un tanque de 400 galones de capacidad contieneinicialmente una solución salina de 150 galones de agua y 25 libras de sal. Una solución salina de 2 libras de sal por galón de agua entra al tanque a una tasa de 10 galones/minuto y la mezcla que resulta sale a una tasa de 5 galones /minuto. Encuentre una expresión del número de libras de sal en el tanque en función del tiempo y encuentre la cantidad de sal en el tanque en el instante en que eltanque empieza a rebozarse.
8. Una tasa de café cuya temperatura es 190° F se derrama en un cuarto cuya temperatura es 65° F. Dos minutos más tarde la temperatura del café es 175° F. ¿Después de cuánto tiempo de haberse derramado el café la temperatura de éste es de 150° F?
9. Dos barras refrigerantes que se mantienen a 0° C se insertan en ángulos rectos la una con la otra en una placa delgada deacero. La temperatura en cualquier punto e la placa está dada por la ecuación [pic]en donde el origen es el punto en que se cortan las barras. Encuentre las líneas de flujo de calor.
9. Un conejo parte de (0, a) y corre sobre el eje [pic] en dirección positiva con una velocidad constante [pic]. Un perro parte de (b, 0) y persigue al conejo con velocidad [pic]. El perro corre de tal manera que...