Matrices

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APLICACIONES LINEALES

Sea Vk y Wk espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo, una aplicación
f: V ( W se llama aplicación lineal si :

➢ ( u, v Є V y λ,μ Є K f( λ u + μ v ) = λ f( u ) + μ f(v) (se puede generalizar a cualquier nº de sumandos)
➢ en dos partes:
1. f( u+ v ) = f(u) + f(v)
2. f( λ u ) = λ f(u)

NOTAS

F ( 0v) = 0w porque en particular Tb. esun homomorfismo de grupos
F( - u ) = - f( u ) por lo mismo
Si V = W entonces se trata de un endomorfismo

( Sea { u1,...,up } vectores LD en V :

➢ entonces { f(u1),..., f(up) } son LD en W

( Sea f: V ( W y g: W ( U aplicaciones lineales :

➢ g o f : V ( U también es una aplicación lineal

( Las aplicaciones lineales no conservan la independencia de vectores

APLICACIONESDESTACADAS

➢ nula : 0: V ( W ( u Є V 0(u)= 0w

➢ identidad : i : U ( W ( u Є U i(u) = u

NÚCLEO E IMAGEN

Sea f: V ( W una aplicación lineal:

➢ f(V) = Im(f) es subespacio vectorial de W
➢ si { u1,...,up} generan V , entonces:
{f(u1),...,f(up) } son también generadores de Im(f) , pero no de W.
Llamamos rango de f (rang(f)), a ladimensión de la Im(f), es decir
Al rang ( f(u1),...,f(up) )
➢ el conjunto f –1{ ( 0w)} = { u Є V / f(u) = 0w } = Ker (f) es un subespacio vectorial de V, que llamamos núcleo de la aplicación lineal.
➢ Si V es un espacio vectorial de dim finita, dim(V) = dim ( Ker(f)) + dim(Im (f))

PROPIEDADES DE UNA APLICACIÓN INYECTIVA

➢ Sea f: V ( W aplicación lineal, f es inyectiva síy sólo si:

1. si Ker f = { 0 v }
➢ si los espacios V y W son de dim finita, se verifica que f es inyectiva sí y sólo sí:

1. dim V = dim ( Im (f)) ( la imagen de una base de V es una base de Im(f) ( NO DE W) , es decir, un conjunto de vectores LI de W

PROPOSICIÓN

➢ la composición de isomorfismos, es un isomorfismo
➢ f: V (W aplicación lineal esisomorfismo ( Ker f = { 0v } e Im(f)= W
➢ si dim V es finita f: V( W aplicación lineal entonces f es isomorfismo ( f es inyectiva ( f es sobreyectiva
➢ si f :V ( W es isomorfismo entonces , f –1 : W ( V es también isomorfismo
➢ dos espacios vectoriales sobre K con dim finita son isomorfos ( tienen la misma dim

MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL

Sean V y W espaciosvectoriales, sea B base de V , B = { e1,...,en} y { w1,...,wn} conjunto de vectores de V , entonces :

➢ existe una única f: V ( W aplicación lineal / f(e1) = w1...y f(en) = wn
con esta proposición vemos que si V tiene dim finita, una aplicación lineal queda totalmente definida si se conocen las imágenes de los elementos de una base de V

Sea V un espacio vectorial, y B = {e1,..., en} base deV, para cada vector x de V tenemos M B x = x1 , x = x1 e1 + ...+ xnen
X2

Xn

Sea f aplicación lineal f: Vn ( Wm , supongamos B’ = { u1,..., un} base de W, sabíamos que para conocer f bastaba conocer las imágenes de V, para ello bastarásaber su CL con respecto a la base B’ de W
F(e1) = w1 = a11.u1 + a21.u2 + ...+am1.um
F(e2) = w2 = a21.u1 + a22.u2 + ...+am2.um

F(en) = wn = a1n.u1 + .... +amn.um

Si x tiene por coordenadas en la base B (x1,...,xn) , f(x) tiene por coordenadas en B’ ( y1,...,yn ) donde:

Y1 = a11.x1 + a12.x2 + ...+ a1n.xn
Y2 = a21.x1 + a22.x2 + ...+a2n.xn

Ym = am1.x1 + ...... + amn.xn

x1 y1
X2 y2
A m x n . =

Xn yn

A A le llamamos asociada a la aplicación lineal respecto a las bases B y B’, entonces tenemos que :

➢ MB’ ( f(x) ) = A BB’ . M B (x) es la expresión matricial del sistema
➢ La matriz A es única...
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