Matrices

Prof. Luis Núñez

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

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SISTEMA DE ECUACIONES LÍNEALES Y MATRICES
1.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Un gran número de problemas de las ciencias y de ingeniería requieren un tratamiento con ecuaciones que relacionan dos conjuntos de variables. Una ecuación del tipo: ax b Se denomina ecuación lineal. La palabra lineal hace referencia a que lagráfica de la ecuación anterior es una línea recta. De forma análoga las ecuaciones del tipo: a1x1 + a2x2 + D3[3= b, (1)

donde los ai y b son constantes conocidas y las xi son incógnitas, son llamadas ecuaciones lineales. En muchos problemas, la resolución pasa por determinar los números xi (incógnitas) que satisfagan la ecuación (1) . Una solución de la ecuación lineal (1) es una sucesiónde n números c1, c2, c3 ... cn con la propiedad que satisfacen la ecuación. Ejemplo 1.1 Para la ecuación lineal: 6x1 – 3x2 + 4x3 = -13 Una solución de la misma es: x1 = 0, x2 = -1, x3 = -4 Puesto que cumple la ecuación anterior

6(0) í-1) + 4(í í también es solución.

ésta no es la única solución de la ecuación lineal dada, puesto que x1 = -3, x2 = -1/3, x3 = 1

Observación. Unaecuación lineal no contiene productos, cocientes o raíces de las incógnitas. Todas las incógnitas se presentan únicamente a la primera potencia y no aparecen como argumento de funciones trigonométricas, logarítmicas o exponenciales. Las siguientes ecuaciones no son lineales: 3x + 2 =4 a) y c) x − 3x 2 = 6

b) 3xy +2x = 4 d) 2.sen(2x-3)+ 3x = 5

El problema central que estudiaremos en este tema escuando se presentan un conjunto de ecuaciones lineales que deben cumplirse en forma simultánea, a dichos conjuntos se les llama sistemas de ecuaciones lineales.

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Consideramos el problema de determinar n números reales: x1, x2, x3,.....,xn que satisfagan simultáneamente las m condiciones siguientes:
 a11 x1 + a12 x 2 +........ a1 n x n = b1   a 21 x1 + a 22 x 2 + ........ a 2 n x n = b2  .  a m 1 x1 + a m 2 x 2 + ........ a mn x n = bm 

(1)

En donde aij y bi son elementos de R.

Al conjunto de ecuaciones anteriormente señaladas, se les llama un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Los valores de x1 , x2 , … , xn que satisfacen simultáneamente a todas las ecuaciones del sistemaconstituyen una solución del sistema de ecuaciones lineales. Resolver un sistema lineal consiste en encontrar todas las posibles soluciones, si es que existen. El uso de doble subíndice para los coeficientes de las incógnitas, permite la ubicación en el sistema, el primer subíndice corresponde a la ecuación y el segundo a la incógnita que acompaña. En el proceso para resolver un sistema lineal, se usan dosaxiomas importantes del álgebra elemental: 1) Si a = b y c = d entonces a+c = b+d 2) Si a = b y k es cualquier número real entonces k.a = k.b El primero de estos axiomas nos garantiza que si en un sistema de ecuaciones sumamos miembro a miembro dos ecuaciones, obtenemos otra ecuación correcta. El segundo axioma nos dice que si multiplicamos cada lado de una ecuación por una constante k   VHREWLHQH XQD ecuación válida. El caso k = 0, no es útil porque resultaría 0 = 0, que aunque es cierta no contribuye a encontrar la solución del sistema. Ejemplo 1.2 Resolver el sistema lineal x − 3y = − 3 2x + y = 8

Para determinar las soluciones de este sistema lineal, utilizaremos la técnica llamada método de eliminación que seguramente se haya trabajado en cursos de bachillerato.Procedimiento. − 2x + 6 y = 6 2x + y = 8 ii) sumamos miembro a miembro las ecuaciones y obtenemos: 7y = 14 iii) despejando y se obtiene: y = 2 iv) sustituyendo este valor en una de las ecuaciones se obtiene: x = 3 v) Sustituyendo x = 3 e y = 2 en las dos ecuaciones del sistema dado, verificamos que efectivamente estos valores constituyen una solución. i) multiplicamos los miembro de la primera ecuación...