Matrices

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA 13052011 FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CONTROL ENSAYO N° 4: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)
PREGUNTA 4: (4.1) Dado el siguiente sistema de ecuaciones: ?B > (D ? #A œ " $B > %D > $A œ ? " #C > &D > A œ ! ? B > #C > %A œ # USANDO EXCLUSIVAMENTE LA REGLA DE CRAMER, calcule el valor de (4.2) Dado el siguiente sistema deecuaciones: ? #B > (D ? A œ " B > &D > $A œ ? " C > &D œ! ? C > (D ? #A œ # Usando la REGLA DE CRAMER; calcule el valor de

ww

D ww Þ

ww

C ww Þ

(4.3) Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, determine si corresponde; usando la Regla de Cramer, el valor de la variable B# : B" ? B$ > B% œ ( #B# > #B$ ? $B% œ ? " %B" ? B# ? B$ œ! ? #B" > B# > %B$ œ# (4.4) Dado el sistema deecuaciones: Î ' " " " " " ÑÎ + Ñ Î " Ñ Ð ' # " " " " ÓÓ ! Ó Ð , Ð Ð ÓÓ Ð Ð Ó Ð ' " $ " " " ÓÓ ? " Ó Ð Ð œÐ Ð ÓÓ Ð Ó Ð . Ð Ð ' " " % " " ÓÓ " Ó Ð ÓÓ Ð Ð Ó ' " " " & " / " Ï ' " " " " ' ÒÏ 0 Ò Ï " Ò USANDO EXCLUSIVAMENTE LA REGLA DE CRAMER, de ser posible. Determine el valor de - . (4.5) Considere el siguiente sisema de ecuaciones:

B > $C œ ?# %B > "$C > D œ " B > #C > D œ !
USANDO EXCLUSIVAMENTE LAREGLA DE CRAMER, ENCUENTRE LA SOLUCIÓN DEL SISTEMA SI EXISTE.

(4.6) Sea Š œ ‘ y Z œ `# B # Ð‘Ñ con la suma usual de matrices y se !+ + , ?!. define el producto escalar por !FŒ 9 œ Œ ?!, ?!.9 - . Determine si: a) Se cumple la asociatividad de la suma. b) Se cumple la distributividad del escalar. c) Se verifica que " F @ œ @ à a @ − Z Þ d) Se cumple la conmutatividad de la suma. (4.7) Dado elconjunto [ œ ˜ÐBß Cß DÑ − ‘$ Î B ? &C > $D œ ! à #B > $D œ ! à $B ? &C > 'D œ ! ™ a) Encuentre dos elementos de [ Þ b) Demuestre que: Si ÐBß Cß DÑ , Ð?ß @ß AÑ − [ Þ Entonces ÐBß Cß DÑ > Ð?ß @ß AÑ − [ (4.8) Sea Š œ ‘ y Z œ ‘# . Se definen las operaciones: SUMA VECTORIAL que denotamos por > : ÐBß CÑ > Ð?ß @Ñ œ ÐB > C ß ? > @Ñ MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR : ! ÐBß CÑ œ Ð!B ß CÑ Determine si: a) La sumaes conmutativa. b) Se cumple la distributividad del vector. (4.9) Dado el conjunto [ œ ˜ÐBß Cß DÑ − ‘$ Î B ? C > D œ ! à #C > $D œ ! à B > C > %D œ ! ™ a) Encuentre dos elementos de [ Þ b) Demuestre que: Si ÐBß Cß DÑ − [ Þ Entonces !ÐBß Cß DÑ − [

(4.10) Sea [ œ ˜ÐBß Cß Dß >Ñ − ‘% Î B > C ? # D œ ! à B > D > # > œ !™ 3Ñ Encuentre dos elementos (SI EXISTEN) de [ Þ 33Ñ Demuestre que [ es unsubespacio vectorial de ‘% sobre el cuerpo de los números reales; con las operaciones usualesÞ (4.11) Sean [" œ ˜ÐBß Cß DÑ − ‘$ Î B > &C œ ! à #B > C > $D œ ! ™ [# œ ˜ÐBß Cß DÑ − ‘$ Î B ? %C > $D œ ! à B > C > D œ ! ™ 3Ñ Escriba [" y [# como conjuntos generados. 33Ñ Encuentre [" G [# . 333Ñ Determine el MENOR conjunto que genera a [" > [# Þ (4.12) Considere el siguiente conjunto

3Ñ Escriba elpolinomio # ? B$ como una combinación lineal de E Þ 33Ñ Demuestre que cualquier polinomio + > ,B > -B# > .B$ − c$ Ð‘Ñ se puede escribir como una combinación lineal de E Þ 333Ñ Demuestre que 1/8ÐEÑ œ c$ БÑ.

E œ ˜" ß " ? B ß B# ß # > B# ? B$ ™ § c$ БÑ

(4.13) Considere el siguiente conjunto " ! " ?" ! ! # ! ™ § ` # B # Ð ‘Ñ E œ ˜Œ ß ß ß ! !9 Œ! ! 9 Œ" !9 Œ" ?"9 # ! Escriba la matriz Œ como unacombinación lineal de EÞ 3Ñ ! ?"9 + , 33Ñ − `# B # Ð‘Ñ se puede Demuestre que cualquier matriz Œ - .9 escribir como una combinación lineal de E Þ 333Ñ Determine si 1/8ÐEÑ œ `# B # Ð‘Ñ . (4.14) Dado el conjunto [ œ ˜+ > ,B > -B# − c# Ð‘Ñ Î + > &, œ ! à #+ > , > $- œ !™ Demuestre que [ es un subespacio vectorial de c # Ð ‘Ñ con las operaciones usuales de suma de polinomios y miltiplicación por escalar depolinomios. (4.15) Sea F œ ˜Œ " ?" ?" " 9ß Œ ? " " ?" " 9ß Œ ! ! ?" ™ ! 9

+ Determine la o las condiciones de + ß , ß - ß . tal que Œ -

, − 1/8 ÐFÑ Þ .9 `#‚# aMV b con las

! Î +ß , − MV I ,9 Demostrar que W es un subespacio vectorial de operaciones usuales.

+ (4.16) Sea W œ œŒ !

(4.17) Sea W œ e+ > ,B > -B# − c# aMV b Î + > #, œ ! à + > , > - œ !f Demostrar que W es un subespacio...