Matrices

MATRICES
MATRIZ: Es un arreglo rectangular conformado por columnas y renglones, que se encuentra sujeta a reglas de operación, como por ejemplo de matrices tenemos los siguientes:
Matriz Fila: Es la que está constituida por una sola fila.
(2 3 -1)
Matriz Columna: Tiene una sola columna.

Matriz Rectangular: Tiene distinto número de filas que de columna, siendo su dimensión m x n.Matriz Cuadrada: Tiene el mismo número de filas que de columnas.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i + j = n + 1.

Matriz Nula: Todos los elementos son cero.

Matriz Triangular Superior: Los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz Triangular Inferior: Los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz Diagonal:Todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz Escalar: Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz Identidad: Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz Transpuesta: Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que seobtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.


Matriz Regular: Una matiz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz Singular: Es la que no tiene matriz inversa.
Matriz Idempotente: Una matriz, A, es idempotente si:

A2 = A
Matriz Involutiva: Una matriz, A, es involutiva si:
A2 = I
Matriz Simetrica: Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:A = At
Matriz antisimétrica o hemisimétrica: Es una matriz cuadrada que verifica:
A = -At
Matriz Ortogonal: Esta verifica que:
A x At = I

SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.PROPIEDADES DE LAS SUMAS DE MATRICES
Interna: La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro: A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
Elemento opuesto: A + (-A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.
Conmutativa: A + B = B + APRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ
Dada una matriz A = (aij) y un número real k R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.
k • A=(k aij)

Propiedades
a • (b • A) = (a • b) • A A Mmxn, a, b
a • (A + B) = a • A + a • BA,B Mmxn , a
(a + b) • A = a • A + b • A A Mmxn , a, b
1• A = A A Mmxn

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
Mm x n x Mn x p = M m x p
El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.


Propiedades del producto de matrices
Asociativa:
A • (B • C) = (A• B) • C
Elemento neutro:
A • I = A
Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.
No es Conmutativa:
A • B ≠ B • A
Distributiva del producto respecto de la suma:
A • (B + C) = A • B + A • C
MATRIZ INVERSA
A • A-1 = A-1 • A = I
Propiedades
(A • B)-1 = B-1 • A-1
(A-1)-1 = A
(k • A)-1 = k-1 • A-1
(A t)-1 = (A -1)t

Cálculo por el método de Gauss
Sea A unamatriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:
1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.
Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2º Utilizando el método Gauss vamos a...