Matrices

Producto Interno y Ortogonalidad
Departamento de Matem´ticas, CSI/ITESM a 15 de octubre de 2009

´ Indice
8.1. Contexto . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . o 8.3. Un producto punto mediante la traza . 8.4. Propiedades del producto punto . . . . 8.5. La norma de una matriz . . . . . . . . 8.6. Propiedades de la norma de matrices . 8.7. Desigualdad deSchwarz . . . . . . . . 8.8. La distancia entre dos matrices . . . . ´ 8.9. Angulo entre matrices . . . . . . . . . 8.10. Ortogonalidad y espacios generados . . 8.11. Bases Ortonormales . . . . . . . . . . 8.12. Existencia de Bases Ortonormales . . 8.13. Proyecci´n ortogonal . . . . . . . . . . o 8.14. Descomposici´n QR . . . . . . . . . . o 8.15. Aplicaci´n de la factorizaci´n QR . . o o 8.16.Uso de la TI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2 3 4 5 6 7 9 10 12 15 16 17 18 19

8.1.

Contexto

Hemos mencionado que el problema fundamental del algebra lineal consisteen resolver un sistema de ´ ecuaciones lineales A x = b y hemos introducido varios conceptos sofisticados para manejar la soluci´n y el o an´lisis. El concepto de espacio generado resuelve el problema de la consistencia: El sistema es consistente si a y s´lo si b ∈ C(A) (el espacio generado por las columnas de A). Otro concepto importante es el concepto o de dependencia lineal y resuelve elproblema de la unicidad: Si el sistema A x = b es consistente, entonces A x = b tiene infinitas soluciones si y s´lo si las columnas de A forman un conjunto linealmente dependiente. o Los conceptos de dimensi´n y de base de un espacio lineal permiten tener una idea qu´ tan grande es el conjunto o e soluci´n y c´mo generarlo: Si el sistema A x = b es consistente, entonces la f´rmula de todas lassoluciones es o o o y = yo + ns(A) donde yo es una soluci´n particular y ns(A) es el espacio nulo de A, es decir, el conjunto de o todos los vectores que satisfacen A x = 0. De hecho, si B = {x1 , . . . , xr } es una base para ns(A), entonces la soluci´n general ser´ o a
r

y = yo +
i=1

ci · x i

y esta ser´ la soluci´n general en su forma m´s reducida posible. El caso consistente ha dado origen atoda la a o a teor´ que hemos visto hasta ahora. Pasemos ahora a la inconsistencia. De alguna forma debemos cambiar la ıa pregunta por que el tema se agot´: Si es A x = b inconsistente, entonces no hay soluci´n. Una forma adecuada o o e a de reformular la pregunta es: No habiendo soluci´n para A x = b, ¿qu´ es lo m´s cerca posible que podemos o

estar de una soluci´n? Esto involucra dosconceptos hermanados: distancia y perpendicularidad. Y ellos tienen o como origen el concepto de producto interno o producto punto que es el tema de esta lectura.

8.2.

Introducci´n o

En esta lectura veremos c´mo definir un producto punto o producto interno en espacios de matrices (pues o tenga presente que nos interesa el paso de A x = b a A X = B tambi´n en el caso inconsistente). Veremos e...