Matrices

Matrices y determinantes

Las matrices son objetos matemáticos de gran utilidad en el manejo organizado de información que puede ser suministrada en datos numéricos. En especial, cuando están asociadas a transformaciones lineales entre espacios vectoriales, las matrices simplifican el estudio de sus propiedades, como se apreciará a continuación.

Matrices Cuadradas y Matrices Rectangulares.Una matriz es un arreglo, en filas y columnas, de números que son llamados coeficientes. Por ejemplo, el siguiente arreglo constituye una matriz:
|

La matriz tiene dos filas: y .

Tiene dos columnas:
   y  |

Se dice que es una matriz cuadrada, porque tiene igual número de filas que de columnas. Se dice también que es una matriz de orden , lo que indica que tiene 2 filas y 2columnas. La primera columna de es y la segunda, . El orden de filas y columnas es importante. Si se cambia este orden, cambia la matriz. Las matrices rectangulares son aquellas que tienen diferentes números de filas y columnas. Por ejemplo, la matriz:
|

es una matriz de orden (2 filas y 3 columnas; siempre se colocan en ese orden los números, por convención).

Las filas de , que son: y puedenconsiderarse como vectores en , y se dice que cada fila es un 'vector fila'. Igualmente, cada columna de se puede considerar como un vector en :
se identifica con el vector , con y con . |
Cada columna es un 'vector columna'. Cuando se quiere hacer referencia a la posición que ocupa un coeficiente en una matriz, se nombra primero la fila y luego la columna a las cuales pertenece elcoeficiente; por ejemplo en la matriz , el coeficiente 1 está en la segunda fila, segunda columna.
MATRICES ESPECIALES
Entre la infinidad de matrices que podemos considerar, existen algunas que por tener características determinadas reciben nombres especiales y serán muy útiles posteriormente; además, esas características especiales hacen que puedan cumplir determinadas propiedades que resaltaremos eneste epígrafe. Concretamente, las matrices especiales que vamos a considerar van a ser: identidad, diagonal, triangular y simétrica.
MATRIZ ESCALAR: Toda matriz cuyos elementos de su diagonal principal toman el mismo valor, tanto arriba como debajo de la diagonal son ceros. También la conocemos por matriz identidad y a su vez es un caso de matriz diagonal.
1 0 0
A = 0 1 00 0 1
MATRIZ SIMETRICA: Es una matriz cuadrada, donde los elementos alternos tienen el mismo valor.
MATRIZ ANTISIMETRICA: Matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su transpuesta A = -At; , aij = -aji aij = aji . Necesariamente; aii = 0
MATRIZ COMPLEJA: Es toda matriz cuadrada, cuyos elementos son números complejos.
3+2i i 5i
A = −4+3i −2i3+6i
−2+i 3+6i −4i
MATRIZ CONJUGADA: Sea A una matriz rectangular o cuadrada compleja. Si se forma otra matriz tomando los complejos de cada elemento de A se obtiene la matriz conjugada de A.
A = [4 3+2j; −3–3j 4+4j]
4 3+ 2i
-3- 3i 4+ 4i
Ac = conj(A)
4 3- 2i
-3+ 3i 4- 4i
MATRIZ IDENTIDAD: de orden n a una matriz cuadradaen la que los elementos de la diagonal principal son todos uno y el resto son cero:
MATRIZ DIAGONAL: Una matriz cuadrada se dice que es diagonal si todos los elementos que no están en la diagonal principal son cero. La matriz identidad es un caso particular de matriz diagonal.
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: Una matriz cuadrada se dice que es triangular inferior si verifica que aij = 0, cuando i< j
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: Una matriz cuadrada se dice que es triangular superior si verifica que aij = 0, cuando i > j
MATRIZ ADJUNTA: Si se tiene una matriz cuadrada A, su matriz adjunta o adj(A) es la resultante de sustituir cada término de A por sus respectivos adjuntos. El adjunto de un término ai j de la matriz A resulta del determinante de la matriz que se obtiene de quitar...