Matrices

Santiago Melo 200621157
Jairo Andrés Torres
Modelos Estadísticos Lineales
Taller 1
1. Se dice que la matriz A es idempotente si A2=A. Dado que la matriz A es idempotente se puede afirmar que A2=A. También se puede afirmar que A3=A2A=AA=A2=A.
Por lo anterior A=0.40.80.30.6, y, A3=A ; entonces A3=0.40.80.30.6
2. Sea x=x1…xn ;y=y1⋮yn dos vectores.
Por regla de multiplicación de vectoresxy=x1…xn y1⋮yn=x1y1+x2y2….+xnyn
Dado que i=1nxiyi=x1y1+x2y2….+xnyn ;entoncesi=1nxiyi=xy
Ejemplo: Sea x=124 ;y=417 ; Su producto es: xy=4+2+28=34
La siguiente sumatoria es i=13xiyi=4+2+28=34=xy
3. Sea x=x1…xn ;y=1⋮1 dos vectores.
Por regla de multiplicación de vectores xy=x1…xn 1⋮1=x1+x2….+xn
Dado que i=1nxi=x1+x2….+xn ;entoncesi=1nxi=xy
Ejemplo: Sea x=124 ;y=111 ; Su producto es:xy=1+2+4=7
La siguiente sumatoria es i=13xi=1+2+4=7=xy
4.
4.1 1niiTx=1n1⋮11…1x=1n1…1⋮⋱⋮1…1x1⋮xn=1nx1+x2…+xn⋮x1+x2…+xn

1niiTx=1nxi⋮xi=xin⋮xin=x⋮x
Se obtiene un vector donde todos los elementos son x.
4.2 x-1niiTx=x1⋮xn-x⋮x=x1-x⋮xn-x
Cada elemento de este vector representa la desviación individual del punto a la media muestral (xi-x).
4.3 Por ley distributiva de derechaI-(1⁄n)iiTx=Ix-(1⁄n)iiTx
Por ley de multiplicación de la matriz identidad (ya que tiene del orden apropiado)
Ix-1niiTx=x-1niiTx
Por lo anterior es cierto que I-(1⁄n)iiTx=x-1niiTx
5. M0=I-(1⁄n)iiT
5.1 para que sea una matriz simétrica es necesario que sea una matriz cuadrada y esto se da gracias a que la multiplicación de iiT=1…1⋮⋱⋮1…1 es de cardinalidad n*n y además la matriz identidad tiene el orden apropiado pararealizar la operación.
I-1niiT=1…0⋮⋱⋮0…1-1/n…1/n⋮⋱⋮1/n…1/n=1-1/n…-1/n⋮⋱⋮-1/n…1-1/n
En la matriz resultante los elementos de encima de la diagonal son iguales a los de debajo de la diagonal es decir M0=M0T, por lo tanto la matriz M0 es simétrica.
5.2 Elementos de diagonal principal: 1-1/n
Elementos fuera de diagonal principal: -1/n
5.3 M0M0=I-(1⁄n)iiTI-(1⁄n)iiT=II-2I1niiT+(1⁄n)iiT(1⁄n)iiTM0M0=I-2niiT+(1⁄n)2n…n⋮⋱⋮n…n=I-2niiT+(1⁄n)iiT=I-(1⁄n)iiT
Lo anterior demuestra que la matriz M0 es idempotente ya que M0M0=M0
5.4 M0i=I-(1⁄n)iiTi=i-1niiTi=1⋮1-1nn⋮n=0⋮0=0
5.5 xTM0x=xTI-(1⁄n)iiTx=xTI-xT(1⁄n)iiTx=xT-xT(1⁄n)iiTx
xTM0x=xT-x…xx=x1-x…xn-xx=x1-x…xn-xx1⋮xn
xTM0x=x1x1-x+…+xnxn-x=i=1nxixi-x=Sxx
5.6 (M0x)TM0y=I-1niiTxTI-1niiTy=Ix-1niiTxTIy-1niiTyT(M0x)TM0y=x-1niiTxTy-1niiTyT=x1-x⋮xn-xTy1-y⋮yn-y
(M0x)TM0y=x1-x…xn-xy1-y⋮yn-y=x1-xy1-y+…+xn-xyn-y
(M0x)TM0y=i=1nyi-yxi-x=Sxy
6. A=400090001
a) Para hallar la inversa de esta matriz usamos Gauss-Jordan.
A-1=400090001⋮100010001R1→R1/4R2→R2/9100010001⋮1/40001/90001
b) Por la definición de los eigenvalores y eigenvectores se cumple Av=λv (siendo v≠0 el eigenvector y λ el eigenvalor. Por lo anterior tenemos que A-λIv=0 y que detA-λI =0.Por lo tanto detA-λI =4-λ0009-λ0001-λ=0
detA-λI =4-λ9-λ1-λ-0+4-λ9-λ1-λ-0+4-λ9-λ1-λ-0
detA-λI =34-λ9-λ1-λ=0
4-λ=0 si λ1=4;9-λ=0 si λ2=9;1-λ=0 si λ3=1
Tenemos entonces que los eigenvalores son λ1=4;λ2=9; λ3=1
Para hallar los eigenvectores tenemos que A-λiI0
Para λ1=4
A-4I0=4-40009-40001-4000=00005000-3000R2→R2/5R3→R3/-3000010001000
Por lo anterior decimos que siendo v1=xyz; x puede tomarcualquier valor pues cualquier numero multiplicado por cero es cero, y, y y z si deben ser cero obligatoriamente. Así v1=r100;
Para r siendo cualquier escalar distinto de 0.
Para λ2=9
A-9I0=4-90009-90001-9000=-50000000-8000R1→R1/-5R3→R3/-8100000001000
Por lo anterior decimos que siendo v2=xyz; y puede tomar cualquier valor pues cualquier numero multiplicado por cero es cero, y, x y z si debenser cero obligatoriamente. Así v2=r010;
Para r siendo cualquier escalar distinto de 0.
Para λ3=1
A-1I0=4-10009-10001-1000=300080000000R1→R1/3R2→R2/8100010000000
Por lo anterior decimos que siendo v3=xyz; z puede tomar cualquier valor pues cualquier numero multiplicado por cero es cero, y, x y y si deben ser cero obligatoriamente si se resuelve el sistema. Así v3=r001;
Para r siendo...