Matricez y sistemas lineales de ecuacion

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM a

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Matrices y Sistemas lineales de ecuaciones

Sea Mn×m = Mn×m (R) el espacio vectorial de las matrices reales con n filas y m columnas.

1.1

Operaciones elementales por filas

En una matriz, se consideran operaciones elementales por filas a las siguientes: 1. Intercambiar dos filas. 2. Multiplicar una fila por unn´mero real no nulo. u 3. Sustituir una fila por la suma de ella misma con el producto de otra por un n´mero real. u

Ejemplo
        2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 f ↔f3 2f2 →f2 f →f2 1 2 −1 −1− → 1 2 −1 − − − 2 4 −2 −2 −f3− → 0 3 −2 −− − −→ −−− − 0 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0

1.2

Matrices elementales

Se llaman matrices elementales a aquellas matrices cuadradas que resultan deaplicar una operaci´n elemental a la matriz identidad. o

Ejemplo
  1 0 0 0 f ↔f2 0 1 0 −1− → E = 1 I= −− 0 0 1 0  1 0 I = 0 1 0 0       1 0 1 0 0 1 0 0 −2f3 →f3 0 0 ; I = 0 1 0 − − − → E = 0 1 0  −−− 0 1 0 0 1 0 0 −2    0 1 0 0 f3 −2f2 →f3 0 − − − − E = 0 1 0 − − −→ 1 0 −2 1

1.3

Relaci´n entre operaciones y matrices elementales o

El resultado de hacer una operaci´nelemental a una matriz A ∈ Mn×m coincide con el resultado o de multiplicar la matriz elemental E ∈ Mn×n , asociada a dicha operaci´n elemental, por A. o

Ejemplo
   1 1 2 −1 1 f2 −2f1 →f2 0  − − − − 0 − − −→ A = 2 −1 1 1 1 0 3 −2    1 1 2 −1 1 f1 ↔f3 0  − − → 0 −− A = 2 −1 1 1 1 0 3 −2   1 2 −1 1 −5 3 −2 = −2 0 0 3 −2   0 0 0 3 −2 −5 3 −2 = 0 1 1 0 2 −1 1  0 0 1 0 · A 0 1 1 0 · A 0

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM a       1 2 −1 1 1 2 −1 1 1 0 0 −f3 →f3 0  − − −  2 −1 1 0 = 0 1 0  · A A = 2 −1 1 − −→ 1 0 3 −2 −1 0 −3 2 0 0 −1

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1.4

Formas escalonada y can´nica de una matriz. Rango o

Se llama matriz escalonada o reducida de A ∈ Mn×m a cualquier matriz Ar ∈ Mn×m que se obtiene a partir de A medianteoperaciones elementales, y en la que el primer elemento no nulo de cada fila se encuentra a la derecha del primer elemento no nulo de la fila anterior. Las filas nulas, si las hay, en una matriz escalonada deben estar al final. Se llama rango de A al n´mero de filas no nulas de una matriz escalonada de A. u Se llama matriz can´nica por filas de A ∈ Mn×m a la matriz Ac ∈ Mn×m , que se obtiene o a partir de Amediante operaciones elementales, en la que el primer elemento no nulo de cada fila es un uno, se encuentra a la derecha del primer elemento no nulo de la fila anterior, y por encima de ´l todos los elementos son nulos. e Observa que si B se obtiene a partir de A ∈ Mn×m despu´s de p operaciones elementales, e entonces B = Ep · Ep−1 · . . . · E2 · E1 · A donde Ei es la matriz elemental asociada a laoperaci´n i-´sima. Adem´s, si I ∈ Mn×n es la o e a matriz identidad de orden n, se tiene que (A | I) − − − − − − − → (B | E) −−−−−−−
operaciones elementales

con

B =E·A

donde E = Ep · Ep−1 · . . . · E2 · E1 se llama matriz de paso de A a B.

Ejemplo
Si se quiere hallar una matriz escalonada, y la matriz de paso asociada, de la matriz   1 1 0 1 1 2 −1 3 1 3  A= 1 −1 2 1 1 1 1 00 2 se hacen las operaciones elementales necesarias ados´ndole la matriz identidad: a  f −2f →f  2 1 2 1 0 0 0 1 1 0 1 1 f3 −f1 →f3  2 −1 3 1 3 0 1 0 0  f4 −f1 →f4  −− − − − − −→ (A | I) =   1 −1 2 1 1 0 0 1 0  0 0 0 1 1 1 0 0 2    1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1  f2 ↔f3  0 −2 2 0 0  0 −3 3 −1 1 −1 −2 1 0 0   −−→  −−   0 −2 2 0 0 −2 0 −3 3 −1 1 −1 0 1 0  −1 0 0 0 −1 1 −1 0 0 1 00 0 −1 1   1 0 0 0 1 1 0 1 1 −1 1 f →f2 f →f3 2 2 2 3 1/2 0 −1/2 0  2f4 +f3 →f4 0 0 3f2 −2f3 →f3  0 1 −1  −− − −  −− − −→  −−−− − − −→ 1 −2 3 0  0 0 0 2 −2 −1 0 0 1 0 0 0 −1 1

0 0 1 0

0 1 0 0

 0 0   0  1

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM a  1  0   0 0 1 0 1 1 1 −1 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0  1 0 0 0 1/2 0 −1/2 0   = (Ar | E r ) 1/2 −1...