Mecanica de solidos

Curso: Mecánica de Sólidos Prof.: Sr. Rodrigo Flores C.

APUNTES Nº3

Rev. 2 Agosto, 2006

CURSO: MECÁNICA DE SÓLIDOS Profesor: Rodrigo Flores C. 1. DESLIZAMIENTO (O CIZALLAMIENTO) PURO

Si sobre las caras de un elemento actúan solamente tensiones tangenciales τ a este estado tensional se le conoce como deslizamiento puro.

Si trazamos el círculo de Mohr veremos que para que se produzcaeste estado las Tensiones Principales deben ser de igual magnitud pero de diferente signo

Y se observa que σx = −σY = τ

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Al ángulo γ se denomina deformación angular. Experimentalmente se comprueba que τ = Gγ ; esta ley es similar a la ley de Hooke (σ = Eε) interviniendo ahora τ (en vez deσ), γ (en vez de ε) y la constante G, similar a E. A G se la denomina Módulo de Deslizamiento. Los módulos E, G y μ no son independientes entre si estando ligados por una relación impuesta por el equilibrio de las tensiones. Se puede demostrar en forma rigurosa (usando fórmulas de la Teoría de la Elasticidad) que:

G=

E 2(1 + μ )

Qué G sea proporcional a E es bastante lógico, En la figura demás arriba se ve que la diagonal AC del cuadrado, cuando este es sometido a las tensiones τ se transforma en AC1, alargándose axialmente. Ahora bien un valor pequeño de G significa que el cuerpo es altamente deformable; o sea que el alargamiento de la diagonal será alto. Pero la deformación axial dependerá del módulo E. Esto demuestra que E, en este caso también debe ser pequeño apuntando a laaludidad proporcionalidad entre ambas constantes.
Podemos llegar a obtener esta relación usando los siguientes razonamientos: - En la figura siguiente, en b), se muestra un cuadrado, de lado tensiones cizallantes τ .

Δs ,

deformado bajo la acción de

De la geometría podemos calcular las longitudes d1, d2 de las diagonales (fórmulas válidas para pequeño):

γ

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⎛Π γ ⎞ d1 = 2Δs cos⎜ − ⎟ ⎝ 4 2⎠ ⎛Π γ ⎞ d 2 = 2Δs sen ⎜ − ⎟ ⎝ 4 2⎠
⎛γ ⎞ 1 − tg ⎜ ⎟ 1 − γ d2 ⎛Π γ ⎞ ⎝2⎠ = 2 = tg ⎜ − ⎟ = γ d1 ⎝ 4 2 ⎠ 1 + tg ⎛ γ ⎞ 1 + ⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠
Donde se ha usado:

tg (α + β ) =

tgα + tgβ 1 − tgαtgβ

- Por otro lado el estado tensional de la figura a) es de cizallamiento simple y se caracteriza porquesus tensiones principales actúan los

τ

σ1

y

σ2

actúan sobre planos inclinados 45º relativamente a los planos donde

2 y se tendrá:

σ 1 = -σ 2 = τ
- El estado está representado en la figura c). Las deformaciones de estas diagonales serán entonces:

Δd1 = d(ε 1 - με 2 ) =

σ1 E σ2 E

μ

σ2 E σ1 E

∆d2 = d(ε2 - με1 ) =
d es el largo original de la diagonal = ΔS 2

μd 1 = d + Δd 1 = d (1 + ε 1 - με 2 ) = d 1 +

σ 1 μσ 2 E E

d 2 = d + Δd 2 = d (1 + ε 2 - με 1 ) = d 1 +
Haciendo la razón entre d2 y d1.

σ 2 μσ 1 E E

1+ μ 1τ d2 E = 1+ μ d1 1+ τ E

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γ 1+ μ = τ 2 E

- Igualando esta expresión con la obtenido por la geometría se concluye que

Yde aquí llegamos a la expresión G =

E 2(1 + μ )

2. CÁLCULOS PRÁCTICOS 2.1 CONEXIONES Si en el estudio tensional de un sólido, en un punto de este, y para una orientación dada, se presentan tensiones principales tales que σ 1 = −σ 2 , a 45º de esta orientación obtendremos un estado de cizallamiento puro. Pero el cizallamiento puro no es de ocurrencia muy frecuente en problemas simples demecánica de sólidos. Solamente en las “conexiones” de elementos se presentan estados que se aproximan a los de cizallamiento puro. Por ejemplo en conexiones (o juntas) de pernos, pasadores, remaches, soldaduras, y ensambles, los estados tensionales se aproximan al cizalle puro. En realidad en la conexión actuarán además tensiones normales (σ), pero estas resultan con magnitudes muy inferiores a las...