Mecanica

INTRODUCCION
El desarrollo de este trabajo está basado en temas de interés para el estudio de la resistencia de materiales, tomando como base los esfuerzos y las deformaciones para su análisis, estos son básicos para el entendimiento de los temas a tratar.
En esta investigación trataremos los siguientes temas: La transformación de esfuerzos y deformaciones en el estado plano, esfuerzos queocurren en recipientes de presión de pared delgada, el uso del círculo de Mohr para la solución de problemas que implican transformación de esfuerzo plano, esfuerzos principales, esfuerzos cortantes máximos, entre otros aspectos.
En las transformaciones de deformación plana veremos las deformaciones en planos, ya sea xy, yz, xz. Existen deformaciones tridimensionales, pero el estudio de las mismasrequiere conocimientos más profundos de la materia, que al nivel estudiado no ha sido analizado. En este tema vemos como existen deformaciones que no ocurren en los planos ya conocidos, y en tal caso es necesario llevarlos(a través de fórmulas) a un plano conocido, para su fácil manejo.
Como tema de finalización, Las Rosetas de Deformación, que pretendemos, con un breve desarrollo, explicar suanálisis, y que tan beneficioso puede ser para la práctica en la vida diaria.

TRANSFORMACIÓN DEL ESFUERZO PLANO
Desde el punto de vista del material, las características propias determinan si es más resistente a las cargas normales o a las cargas cortantes, de aquí nace la importancia de transformar un estado de tensiones general en otro particular que puede ser más desfavorable para un material.Se considera un trozo plano y un cambio de ejes coordenados rotando el sistema original en un ángulo ð.

El estado de esfuerzos cambia a otro equivalente σx' σy' ðx'y' que deben calcularse en base a los esfuerzos originales. Tomando un trozo de elemento plano se tiene que :

Para poder hacer suma de fuerzas y equilibrar este elemento, es necesario multiplicar cada esfuerzo por el área en laque se aplican para obtener las fuerzas involucradas.  Considerando que los esfuerzos incógnitos  se aplican en una área `da'. Se tiene que este trozo de cuña tiene un área basal  `da cos ð' y un área lateral  `da sen ð'
Suma de fuerzas en la dirección x' : 
σx' da = σx da cos ð cos ð  +  σy da sen ð sen ð  +  ðxy da cos ð sen ð  +  ðxy sen ð cos ð 
σx' = σx sen2ð  +  σy cos2ð  +  2 ðxy cos ðsen ð 
σx' = ( σx + σy )/2   +   ( σx - σy )/2   (cos  2ð)  +   ðxy  (sen  2ð) 
Suma de fuerzas en la dirección y' : 
ðx'y' da = σy da cos ð sen ð  -  ðxy da sen ð sen ð   +  ðxy cos ð cos ð  -  σx da sen ð cos ð  
ðx'y' =  σy   cos ð sen ð   -  ðxy  sen2ð  +  ðxy  cos2ð-  σx sen ð cos ð 
ðx'y' =  ðxy  (cos  2ð)  - ( σx - σy )/2   (sen  2ð)
Con estas expresiones es posible calcularcualquier estado de esfuerzo equivalente a partir de un estado inicial. La siguiente aplicación permite calcular estos valores automáticamente. Compruebe los resultados que se obtienen.
ESFUERZOS PRINCIPALES
Siempre es importante obtener los valores máximos de los esfuerzos tanto los normales como los de corte para compararlos con los valores admisibles del material que se está evaluando. 
Elesfuerzo normal máximo se deduce derivando σx' con respecto al ángulo ð :
dσx' /dð  =  0  = - ( σx - σy ) (sen  2ð)  +    2 ðxy  (cos  2ð)
tan 2ð = 2 ðxy / ( σx - σy )
La solución de esta ecuación son dos ángulos que valen :  ð   y   ð + 90
Al evaluar usando estos valores para el ángulo ð se obtienen los esfuerzos normales máximo ( σ1) y mínimo (σ2). Es importante destacar que si se iguala ðx'y' =0 se obtiene la misma expresión que la derivada, esto implica que cuando el elemento se rota para encontrar los esfuerzos principales  (σ1 y  σ2)  se produce que el esfuerzo cortante vale cero.
En definitiva :
σ1 ,  σ2  =  ( σx + σy ) / 2   + /  - 
El esfuerzo cortante máximo se obtiene de forma similar, derivando la expresión correspondiente con respecto al ángulo ð.
dtx'y' / dð  =  0  = ...